OC 极小值原理

——极小值原理李俊 Ljun@

最优控制

中国科学技术大学

提纲 极小值原理证明 Bang-Bang控制 最小能量控制 最小燃料量控制 离散时间极小值原理

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极小值原理 庞特里亚金，1956年提出。 从变分法引伸而来，求解容许控制问题的得 力工具。

g x(t ), u(t ), t 0

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系统描述 (t ) f x(t ), u(t ), t 状态方程 x

x(t ) R n

u(t ) R r

初始条件 终端约束 控制约束

x(t0 ) x0N x(t f ), t f 0

m维连续可微的矢量函数 m nk 维连续可微的矢量函数

g x(t ), u(t ), t 0tf

k r

性能泛函 J x(t f ), t f L x(t ), u(t ), t dtt0

, L维连续可微的标量函数

t f 待定，求最优容许控制u*(t),使性能泛函极小

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引入新的r维控制变量w(t),令 (t ) u(t ), w(t0 ) 0 w

则u(t)不连续时，w(t)连续；u(t)分段连续，w(t)分段 光华连续。 引入新的k维控制变量z(t),令 (t ) z2

g x(t ), u(t ), t , z (t0 ) 0

则无论z’正负，满足g非负的要求。 通过上述变换，将不等式约束的最优控制转化为等 式约束的波尔扎问题。再引入两个拉格朗日乘子T J x ( t ), t N f f x(t f ), t f

tf

t0

, λ, t λ x γ H x, wT

T

2 g ( x , w , λ , t ) z dt

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, λ, t L x, w , t λ T f x, w ,t H x, w为简便，令 2 , w , λ , γ, z , t H x, w , λ, t λ T x γT x, x g ( x , w , t ) z , w , λ, γ, z , t dt J1 x(t f ), t f N x(t f ), t f t0 x, xT tf

增广性能泛函J1的一次变分t f t f T Jt f μ N dt t f t f

J1 J t J x J w J zf

t t f

T N tf μ t f t f t f t t f

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tf T T T J x x (t f ) μ N t t x x dt t f 0 x x x T tf T T x (t f ) μ N x t t t f 0 t t f x x (t f ) t f dx(t f ) x(t f ) x T

T x

d dt x dt x

tf NT T J x x (t f ) μ tf x t0 x x t t x t t f x f T

T x

d

dt x dt x

tf T d J w w (t f ) w dt t 0 t t f w dt w tf T T d J z z (t f ) z dt t 0 t t f z dt z T

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T NT N T T J1 μ x μ t f x (t f ) t t x x x x t t f f f t t f

w T (t f )

d T d T d x w z dt t0 dt w dt z x dt x 欧拉方程

NT T μ x 0 t t x t f f t t f f T

z T (t f ) t t f t t f w z

d x dt d w dt d z dt

0 x d 0 0 w w dt w d 0 z dt zt t f

横截条件 NT μ 0 x x x t t f

z

0t t f

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2 , w , λ , γ, z , t H x, w , λ, t λ T x γT x, x g ( x , w , t ) z

λ x

欧拉方程

H gT γ λ x x d H gT γ 0 w dt w d T 0 γ z dt横截条件

NT μ H 0 t t f f t t f

NT μ λ 0 x x t t f

H gT w w

γ 0 t t f

γT z中国科学技术大学

t t f

0

T H g λ γ x x

H 只有g不含x时，才有 λ x

d d 和 0 ,知 0 dt z dt w

和 为常数 z w

又

w

0t t f

和 zt t f

0

,知沿最优轨线，恒有为常数 0 w z H gT γ u u

0 w

得

故存在不等式约束时，沿最优轨线， H 0不成立 u

H gT γ 0 w w

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充分条件，需满足维尔斯特拉斯E函数沿最优轨线非负 , w ,z x* , w * , z * , x *, w *, z * E x* , w * , z * , x * * x ) w ) z ) (x (w (z 0 x w z*

由于沿最优轨线有

2 (t ) g x(t ), w (t ), t 及z * * * * * * * * * *

E x , λ , γ , x, w, z x , λ , γ , x , w , z (x x ) x , w ,z λ *T x x* , λ * , γ* , x *, w *, z * λ *T x * x* , λ * , γ* , x* * * * * H x , λ , w , t H x , λ , w ,t 0* * * * * H x , λ , u , t H x , λ , u ,t 0

λ 0 x w z

H视为u的函数，则在最 优轨线上，与最优控制u*对应的H取绝对极小值

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极小值原理 (t ) f x(t ), u(t ), t 状态方程 x

x(t ) R n

u(t ) R r

初始条件 x(t0 ) x0 终端约束 N x(t f ), t f 0 控制约束tf

t f 待定m维连续可微的矢量函数 m nT

k 维连续可微的矢量函数 g x(t ), u(H t ), 0 , t λ f x, w ,t w , λ ,t L x, w x,t

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