OC 极小值原理(2)

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性能泛函 J x(t f ), t f t0 L x(t ), u(t ), t dt 取哈密尔顿函数为 则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、最优轨线x*和 最优协态矢量λ*满足下列关系中国科学技术大学

1. 沿最优轨线满足正则方程 x H λT H g λ γ x x

2. 在最优轨线上，与最优控制u*对应的H函数取绝对极小值* * * * * min H x , λ , u , t H x , λ , u ,t u U

H λ g不含x时有 x

* * * * * H x , λ , u , t H x , λ , u ,t T H g 沿最优轨线有 γ u u 3. H函数在最优轨线终点处的值决定于

或

NT μ H 0 t f t f t t f 中国科学技术大学

4. 协态终值满足横截条件 NT λ (t f ) x x μ t t f

5. 满足边界条件x(t0 ) x0* * * * * H x , λ , u, t H x , λ , u , tf

N x(t ), t f 0

以上即为极小值原理 不等式约束下的最优控制必要条件与等式约束下的相比，仅 有控制方程和协态方程有变化T H g λ γ x x

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极小值原理说明1. 条件1和2普适于求解各种类型的最优控制问题，且与边界 条件形式或终端时刻自由与否无关。且* * * * * H x , λ , u , t H x , λ , u ,t

表明u(t)和u*(t)都在容许的有界闭集U中取值时，只有u*(t)能使 H函数沿最优轨线x*(t)取全局最小值。这与闭集U的特性无关。 条件3描述H(tf)与tf的关系，可确定tf值。tf固定时该条件不成立 条件4和5表明，终端时刻状态自由度的扩大是以协态自由度 缩小为代价的。状态终值和协态终值提供n个边值条件。中国科

学技术大学

极小值原理说明(续)2. 控制矢量无界时 0 ;有界时，不成立，应代之H为全 u 局最小。而u*确实保证了H的全局最小。满足变分法应用条件时，用 H 0求解只是极小值原理的一个特例。 u H

3. 极小值原理给出最优控制的必要条件，并发充分条件。不符合极小值原理的控制必定不是最优控制；符合的只是最优控制的候选 函数，需辅之以实际问题判断或数学上进行证明。

4. 极小值原理放宽了控制条件，不要求H对u可微。例，H为线性函数，或在容许控制范围内，H单调上升(下降)时。

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极小值原理 更加详细的计算公式，建议看书中第73、74 页的表格

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例 x u, x(0) 5 x

1 Ce t tf

0.5 u 1H x u x u

1

(1) 0

min J ( x u)dt0

1

C e e1 t 1切换时间

x(1 ) u (1 )

H为u的线性函数。H极小即 求u (1 ) 极小。 1.0 1 u 0.5 1 协态方程 H (1 ) x中国科学技术大学

e1 t 1 1 t 1 ln 2 0.307 x 1.0 1 x x 0.5 1

4e t 1 0 t 0.307 x t 4.368 e 0.5 0.307 t 1

14

12

10

8

6

4

2

J * ... 8.684中国科学技术大学

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

由边界条件得

x(0) 0

λ (t f )

x(t f ), t f x(t f )

N T x(t f ), t f μ x(t f )

3 7*

C1

C2 2 1.4 1.2

C3 0

C4 0

3 6 u t 7 7 1 3 3 2 * x1 t t 14 7 3 2 6 * x2 t t 14 7中国科学技术大学

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

极小值原理应用 用极小值原理替代控制方程 使用极小值原理时，不管状态、协态如何， H u 0 只考虑H与u的关系，按照使H(全局)极小的原 则预选u,得到u的一组候选函数 利用u的候选函数，与正则方程、横截条件、 初始条件联立，确定最优解

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