2012年高考第一轮复习数学：6.3 不等式的证明(二)(5)

3223

解析：（x+13ax）－（5ax+9a） =x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x－4ax+9a） =（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.

∵当x≠2a≠0时，有（x－2a）+5a＞0.由题意故只需x－a＞0即x＞a，以上过程可逆. 答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求证：b2 ac＜3a. 证明：要证b2 ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2， 即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a－b）（2a+b）＞0， 即证（a－b）（a－c）＞0. ∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立. ∴原不等式成立.

4.已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0. 证法一：（综合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2＝0. 展开得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.

证法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0， ∵a+b+c=0，

故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0， 亦即证

12

a

2

3223

22

22

22

b

2

c

2

2

，

［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．

而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，

∴原不等式成立.

证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.

∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2 ＝－a－b－ab＝－［（a＋∴ab+bc+ca≤0.

培养能力

5.设a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c. 求证：－＜c＜0.

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2

2

b2

）＋

2

3b4

2

］≤0．

证明：∵a2+b2+c2=1，

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