生产函数中参数估计方法的进一步改进(4)

^

y=ax^ 11x22e.

(12)

x21.22

1.171.301.391.471.311.431.581.591.661.681.65

t191519161917191819191920192119221923192419251926

y2.002.091.962.202.122.162.082.242.562.342.452.58

x13.243.614.104.364.774.754.544.544.584.584.584.54

x21.621.861.931.961.951.901.581.671.821.601.611.64

表1 美国马萨诸塞州1820~1926年的产值y及资金投入x1和劳动力投入x2统计数据(以1899年为1.00)t1890189118921893189418951896189718981899190019011902

y0.720.780.840.730.720.830.810.930.961.001.051.181.29

x10.950.960.990.960.930.860.820.920.921.001.041.061.16

x20.780.810.850.770.720.840.810.890.911.001.051.081.18

t190319041905190619071908190919101911191219131914

y1.301.301.421.501.521.461.601.691.811.931.952.01

x11.221.271.371.441.531.572.052.512.632.742.823.24

公式(12)两边取对数,得

lny=lna+ 1lnx1+ 2lnx2+ .

*

现令y*=lny,a*=lna,x*1=lnx1,x2=lnx2,代入公式(13)得

**

y*=a*+ 1x1+ 2x2+ .

(13)(14)(15)

经过上机求解得到二元线性回归方程为

*

y*=0.0068+0.2182x*1+0.8457x2.

由此,可得

a^

a^

*

*

=0.0068, ^ 1=0.2182, ^ 2=0.8457.

.21820.8457

y=1.0068x0x2.1

根据公式(5),有^a=e=e0.0068=1.0068.所以,生产函数的回归方程为

(16)

-1

由计算机算出^a*的方差为D(^a*)=0.0069,利用公式(7)可求a近似的无偏估计量^a为

a=e^

a^

*

*

1+2D(^a)

-1

=e

0.0068

(1+0.5 0.0069)=1.0034.

(17)(18)

所以,生产函数的另一回归方程为

.21820.8457

y=1.0034x0x2.1

利用公式(9)可以给出a的另外一个估计值^a=1.0039.由此可以得到生产函数的第3个回归方程为

.21820.8457y=1.0039x0x2.1

现利用非线性最小二乘法估计a, a=1.0316,1, 2,利用数学软件Matlab的Leastsq函数编程直接求得^ 1=0.3609, 2=0.4398.得到生产函数的第4个回归方程为

.36090.4398y=1.0316x0x2.1

(19)

,求a,,.^^ 1, ,^n.Matlab

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