复旦大学 线性代数1-4(2)

§ 1.5克莱姆法则z主要应用： n元线性方程组的求解 a11 x1+ a12 x2+ L+ a1n xn= b1 a x+ a x+ L+ a x= b 21 1 22 2 2n n 2 L L L L L L an1 x1+ an 2 x2+ L+ ann xn= bn

对于 n元线性方程组

由其系数组成的 n阶行列式称为方程组的系数行列式a11 a21 A= L an1 a12 L a1n a22 L a2 n L L L an 2 L ann

瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer, 1750),在其著作《线性代数分析导引》中阐述：

定理1.5: 1.5 (克莱姆法则)若 n阶线性方程组的系数行列式|A|≠0,则它有惟一解x1= A1 A,x2= A2 A,

L,

xn=

An A

.

其中|Aj|(j=1,2,…,n)是将|A|中的第 j列换成常数列 b1, b2,…, bn所得到的 n阶行列式.

b1 a12 L a1, j L a1n A1= LLLLLLLLL bn an 2 L an, j L ann a11 L a1, j 1 b1 a1, j+1 L a1n A j= LLLLLLLLLLL an1 L an, j 1 bn an, j+1 L ann

¾表述-简洁自然¾行列式与方程组解的关系：存在性、唯一性

证明:先证左边=第 i个方程n

x1=

A1 A

, x2=

A2 A

,

L,

xn=

An A

是方程组的解+ L+ a in An A

∑aj=1

ij

x j= a i1

A1 A,

+ ai2

A2 A

¾将|Aj|按第j列展开为元素 b1代数余子式的乘积之和.

b2,…, bn与其对应的

A1= b1 A11+ b 2 A 21+ L+ b n A n 1=

∑bk=1 n

n

k

Ak 1

A 2= b1 A12+ b 2 A 22+ L+ b n A n 2= M

∑bk=1

k

Ak 2

n n n 1 原式= a i 1∑ b k A k 1+ a i 2∑ b k A k 2+ L+ a in∑ b k A kn A k=1 k=1 k=1

1= A

∑ b (an k=1 k

i1

A k 1+ a i 2 A k 2+ L+ a in A k n )

a i1 Ak 1+ a i 2 Ak 2+ L+ a in Ak n= Aδ i k

A,当 k= i= 0,当 k≠ i

1左边= A

∑bk=1

n

k

Aδ ik

= bi¾故 x1, x2,…, xn是方程组的解。

再证：方程组的解必为

x1=

A1 A

, x2=

A2 A

,

L,

xn=

An A

¾思路：将代数余子式看作具体数，利用定理1.3消元(一列元素与不同列对应元素的代数余子式乘积之和为零)

¾用第一列元素的代数余子式依次乘以方程组的n个方程，得： a11 A11 x1+ a12 A11 x2+ L+ a1n A11 xn= b1 A11 a A x+ a A x+L+ a A x= b A 21 21 1 22 21 2 2 n 21 n 2 21 LLLLLLLLLLLL an1 An1 x1+ an 2 An1 x2+ L+ ann An1 xn= bn An1

再把 n个方程依次相加，由定理1.3,仅 x1的系数不为零，故a11 A11 x1+ a21 A21 x1+ L+ an1 An1 x1= b1 A11+ b2 A21+ L+ bn An1即： A x1= A1 An A2¾同理可证 x2= A, L, xn= A¾故当|A|≠0时，方程组有且只有唯一解.

例：用克莱姆法则求解方程组

x1 3 x3 6 x4= 9 2 x 5x+ x+ x= 8 1 2 3 4 x2+ 2 x3+ 2 x4= 5 x1 7 x2+ 4 x3+ 6 x4= 0.1 0 5 1 3 1 2 6 1= 27≠ 0 2

2解:首先计算系数行列式 A= 0 1

9 8 A1= 5 0

0 5 1 7

3 1

2 4

6

7 4 6 1 9 3 6

2 1= 81 A2= 0 2 1 6x1= A1 A= 3, x2=A2 A

8 5 0

1 2 4x4= A4 A

1= 27, L 2 6= 1.

¾由克莱姆法则

= 1, L,

例：求通过四点(1, 3)、 (2, 4)、 (3, 3)、 (4, -3)的曲线 y= a0+ a1x+ a2x2+ a3x3 Matlab解解：这是一个曲线拟合问题，由题意 a0+ a1+ a2+ a3= 3 a+ 2a+ 4a+ 8a= 4 0 1 2 3 a0+ 3a1+ 9a2+ 27 a3= 3 a0+ 4a1+ 16a2+ 64a3= 31 1 A= 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 1 8 27 64

系数行列式为A1= 36∴ a0= 3

= (4 3)(4 2)(4 1)(3 2)(3 1)(2 1)= 12≠ 0 A2= 18 A3= 24 A4= 6a2= 2a3= 1/ 2

a1= 3/ 2

例用克莱姆法则解方程组 2 x1+ x2 5 x3+ x4= 8, x 3 x 6 x= 9, 1 2 4 2 x2 x3+ 2 x4= 5, x1+ 4 x2 7 x3+ 6 x4= 0.

解

2 1 5 1 1 3 0 6 A= 0 2 1 2 1 4 7 6

r1 2r2

r4 r2

0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12

7 5 13= 2 1 2 7 7 12

c1+ 2c2c3+ 2c2

3 5

3

0 1 0 7 7 2

3 3= 27,= 7 2

2 x1+ x2 5 x3+ x4= 8, x 3x 6 x= 9, 1 2 4 2 x2 x3+ 2 x4= 5, x1+ 4 x2 7 x3+ 6 x4= 0.

8 1 5 1 9 3 0 6 A1== 81 5 2 1 2 0 4 7 6

2 1 A2= 0 1 A1∴ x1= A

8 5 1 A3= 27 9 0 6= 108 5 1 2 A4= 27 0 7 6 A2 108 81== 4, x3= 1, x4= 1.== 3, x2= A 27 27

小结

1. 用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.

2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和系数与常数项之间的关系.(主要应用于理论推导)

例如：判断线性方程组是否有非零解？

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