含参不等式恒成立问题求解策略

自写论文

含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

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以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元、主参换位转化为一次函数问题

习惯上，我们常把x看做自变量，其余的字母看做参数。在解含参数的不等式时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。应用此方法时要分清谁是变量，谁是参数。一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数。通常会用到如下性质：

对于一次函数f(x) kx b,x [m,n]有：

f(m) 0 f(m) 0 f(x) 0恒成立 ,f(x) 0恒成立 f(n) 0f(n) 0

（a-6）x 9-3a 0，a １恒成立的x的取值范围。 典例２．求使不等式x 2

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