人口模型(马尔萨斯 vs logistic)

阻滞模型

人口模型

阻滞模型

微分方程模型在许多实际问题中， 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难， 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题. 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题

本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中， 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。 用的数学工具之一。

阻滞模型

把未知变量表示为已知量的函数——跟已知量的 把未知变量表示为已知量的函数 跟已知量的 导数有关

求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件(如Matlab)求 利用各种数值解法、数值软件( Matlab) 利用各种数值解法 近似解 不必求出方程的解 ——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的 根据微分方程的理论研究某些性质， 根据微分方程的理论研究某些性质 变化趋势

阻滞模型

模型与Logistic模型 § 4.1 Malthus模型与 模型与 模型为了保持自然资料的合理开发与利用， 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 本节将建立几个简单的单种群增长模型， 本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一 下这方面的问题。 下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模 离散化为连续， 离散化为连续，方 型的复合来研究， 型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自 便研究 美丽的大自然 行建立相应的模型。 行建立相应的模型。

种群的数量本应取离散值， 种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型， 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。 由此引起的误差将是十分微小的。

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模型与Logistic模型 § 4.1 Malthus模型与 模型与 模型世界人口年 人口( 人口(亿) 1625 5 1830 10 1930 20 1960 30 1974 40 1987 50 1999 60

哇！

美丽的大自然

中国人口年 人口( 人口(亿) 1908 3 1933 4.7 1953 6 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95

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模型1 马尔萨斯(Malthus) 模型1 马尔萨斯(Malthus)模型 假设： 假设：人口净增长率r是一常数时刻时的人口， 符号： 符号：x( t ) t时刻时的人口，可微函数 x0 t = 0 时的人口

则

x ( t + t ) x ( t ) r

= x ( t ) t

于是x 满足如下微分方程： 于是 (t)满足如下微分方程： dx = rx dt x ( 0 ) = x0

(4.1)

(3.1)的解为： 的解为： 的解为

x ( t ) = x0 e rt

(4.2)

阻滞模型

x ( t ) = x0 e rt

(4.2)

表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人 当r>0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人 0 口指数模型。 口指数模型。

马尔萨斯模型的一个显著特点： 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时 间是固定的。

令种群数量翻一番所需的时间为T,则有： 令种群数量翻一番所需的时间为 ，则有： x0 = x0 e rT 2 故ln 2 T= r

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模型检验

x( t ) = x0 e rt

(4.2)

用P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据(以百万作 P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据( 给出的近两个世纪的美国人口统计数据 单位),对模型作检验。 ),对模型作检验 单位),对模型作检验。r , x0

参数估计： 可用已知数据利用线性最小二乘法 最小二乘法进行估计 参数估计： r,x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计 (4.2)式两边取对数，得： 4.2)式两边取对数，ln x( t ) = ln x0 + rt y = a + rt = ln x ( t ), a = ln x0 ) (y

(4.3)

年的数据拟合( 以1790-1900年的数据拟合(4.3)式，用 - 年的数据拟合 4.3) Matlab软件计算得 软件计算得： Matlab软件计算得：r=0.2743/10年， 年

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Matlab计算示范 计算示范

ln x( t ) = ln x0 + rt y = a + rt (4.3) = ln x( t ), a = ln x0 ) (y

年共计12个数据为例进行拟合 以1790-1900年共计 个数据为例进行拟合： 年共计 个数据为例进行拟合： t=[0:11]; : ; %输入数据 输入数据

x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76]; plot (t, x, ’o’); %画散点图 画散点图 ’ y=log(x); p=polyfit(t,y,1) 输出结果： p = 0.2743 输出结果： 表示： 表示：1.4323

y = 0.2743t + 1.4323

∴ ln x0 = 1.4323 x0 = 4.1884 ∴ x ( t ) = 4.1884e 0.2743t

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模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将 年增加一倍， 假如人口数真能保持每 年增加一倍 以几何级数的方式增长。例如， 以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达 ×1014个， 年 人口达2× 即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围 平方英尺的活动范围， 即使海洋全部变成陆地，每人也只有 平方英尺的活动范围， Malthus模型实际上只有在群体总数 Malthus × 而到2670年，人口达 模型实际上只有在群体总数 而到 年 人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的 马马马马马马马马马马 不太大时才合理，到总数增大时， 不太大时才合理，到总数增大时。 肩上排

成二层了。 马尔萨斯模型是不完善的。 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的 ， 所以Malthus Malthus模型假设的人口净 所以Malthus模型假设的人口净 生物群体的各成员之间由于有限的 增长率不可能始终保持常数， 增长率不可能始终保持常数， 生存存空间， 生存存空间，有限的自然资源及食 它应当与人口数量有关。 它应当与人口数量有关。 物等原因， 物等原因，就可能发生生存竞争等 现象。 现象。3.5 x 1011

3

2.5

2 N/马

几何级数的增长

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