人口模型(马尔萨斯 vs logistic)(2)

1.5

1

0.5

0 1950

2000

2050 t/年

2100

2150

2200

阻滞模型

练习一： 的部分或者全部数据拟合Malthus模型， 模型， 练习一：用P61的部分或者全部数据拟合 的部分或者全部数据拟合 模型 计算并作图，观察并分析结果。 计算并作图，观察并分析结果。

阻滞模型

模型2 模型2

Logistic模型 Logistic模型

人口净增长率应当与人口数量有关， 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x) 从而有： 从而有： dx = r( x) x dt x ( 0) = x0 (4.4) )

生物学家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群 生物学家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的， 数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。 数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。

增长的种群个体，当种群数量过多时， 增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。 恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养 此时得到微分方程： 此时得到微分方程： 的种群数量的上界为x 近似地将xm看成常数), 表示当前的种群数量， 看成常数), 表示当前的种群数量， ),x表示当前的种群数量 的种群数量的上界为 m(近似地将 dx dx x = ( r ax ) x 或 ，(= r (1 ),种群增长率与两者的 ) xm-x恰为环境还能供养的种群数量，(4.6)指出 x (4.5) 恰为环境还能供养的种群数量，( )指出， 恰为环境还能供养的种群数量 dt xm dt r(x)最简单的形式是常数，此 最简单的形式是常数， 最简单的形式是常数 为了得出一个有实际意义 乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是( ) 乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是(4.6) 时得到的就是马尔萨斯模型。 时得到的就是马尔萨斯模型。 也被称为统计筹算律的原因。是未知函数，但根 也被称为统计筹算律的原因的模型，我们不妨采用一 。 r(的模型， x)是未知函数， 对马尔萨斯模型的最简

单的改 4.5)可改写成： 下工程师原则。 (4.5)可改写成： 下工程师原则。工程师们 据实际背景， 据实际背景，它无法用 进就是引进一次项(竞争项) 进就是引进一次项(竞争项) 在建立实际问题的数学模 dx r 。 = ( xm x拟合方法来求 4.6) )x ( ) 型时， 型时，总是采用尽可能简 dt Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律 xm (4.5)被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学 )被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律， 单的方法。 单的方法。

(4.6)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的 式还有另一解释， 式还有另一解释 由于空间和资源都是有限的， 对马尔萨斯模型引入一次项(竞争项),令 r(x)=r-ax 对马尔萨斯模型引入一次项(竞争项),令 ，不可能供养无限 ),

阻滞模型

1 1 4.6)分离变量： 对(4.6)分离变量： + dx = rdt x xm x xm 两边积分并整理得： 两边积分并整理得： x= 1 + Ce rt求得： 令x(0)=x0,求得：x m x0 x m C= = 1 x0 x0xm x 1 + ( m 1)e rt x0

的解为： 故(4.6)的满足初始条件x(0)=x0的解为： 4.6)的满足初始条件x(t ) =

(4.7)

易见： →+∞ 易见： tlim x ( t ) = xm x(t)的图形请看图 的图形请看图4.1 的图形请看图图4-1

阻滞模型

模型检验

练习二： 练习二： Matlab软件求出Logistic模型人口随时间变化 软件求出Logistic (1)用Matlab软件求出Logistic模型人口随时间变化 的函数关系式，并估计出各个时刻的人口， 的函数关系式，并估计出各个时刻的人口，制出书上表格 4-1; 对计算出来的结果和原始数据进行比较( (2)对计算出来的结果和原始数据进行比较(可通过 画图等方式),并予以解释。 ),并予以解释 画图等方式),并予以解释。

阻滞模型

模型检验 用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？ 模型来描述种群增长的规律效果如何呢 年克朗皮克(Crombic)做了一个人工饲养小谷虫的实验， 年克朗皮克(Crombic)做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯( F Gauss 也做了一个原生物草履虫实验， Gauss) 学生物学家高斯(E·F·Gauss)也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 Logistic曲线十分吻合 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长， 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效 Logistic模型来描述种群的增长 果还是相当不错的。例如，高斯把 只草履虫放进一个盛有 果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有 0.5cm3营养液的小试管

,他发现，开始时草履虫以每天 营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9% 的速率增长，此后增长速度不断减慢， 的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量 375个，实验数据与 个 实验数据与r=2.309,a=0.006157,x(0)=5的Logistic曲 ， , 的Logistic曲 线： 375 x (t ) = 几乎完全吻合，见图4.2。 几乎完全吻合，见图 。 1 + 74e 2.309t

图4-2

阻滞模型

Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型的总结 模型和Logistic Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程( ) Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程(4.4) 模型和Logistic模型均为对微分方程 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率 为一常 ，(r被称为该种群的内禀增长率)。后一模型则假设环 被称为该种群的内禀增长率)。 数，( 被称为该种群的内禀增长率)。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。 用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好， 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 对模型进行修改。 因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 模型与Logistic 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题， 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可， 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。 个较为有趣的实例。

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