2021-2022年高中数学 第二章 推理与证明测试题 新人教A版选修1-2(5)

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答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

11 分析：因为锐角三角形，所以α+β＞π2 ，所以0＜π2 -α＜β＜π2 ， sin （π2

-α）＜sin β，0＜cos α＜sin β＜1，函数f （x ）在［－1，1］上满足是减函数

所以f （c o s α）＞f （sin β）。

12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错. ∴答案为C .

二 13 -132

14 （S △ABC ）2= S △BOC . S △BDC 15. 35 16 a 0C 0n ·a 1－C 1n ·a 2 C 2n ·…·a n （－1）n C n

n ＝1. ［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.

三 解答题

17 (分析法) 要证 1a+b +1b+c =3a+b+c 需证: a+b+c a+b +a+b+c b+c

=3 即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)

即证:c 2+a 2=ac+b 2

因为△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列,所以B=600,由余弦定理b 2= c 2+a 2-2cacosB

即b 2= c 2+a 2-ca 所以c 2+a 2=ac+b 2

因此 1a+b +1b+c =3a+b+c 18 (反证法).证明：设a 、b 、c 都不大于0，a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0，

而a ＋b ＋c ＝（x 2－2y ＋

π2）＋（y 2－2z ＋π3）＋（z 2－2x ＋π6） ＝（x 2－2x ）＋（y 2－2y ）＋（z 2－2z ）＋π＝（x －1）2＋（y －1）2＋（z －1）2＋π－3，

∴a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.

19(综合法)．证明：⑴由a n ＋1＝n ＋2n

S n ，而a n ＋1＝S n ＋1－S n 得 ∴n ＋1n S n ＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1＝2（n ＋1）n S n ，∴S n ＋1

n ＋1S n n

＝2，∴数列｛S n n

｝为等比数列. ⑵由⑴知｛S n n ｝公比为2，∴S n ＋1n ＋1＝4S n －1n －1＝4n －1·a n （n －1）n ＋1

，∴S n ＋1＝4a n .

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