2021-2022年高中数学 第二章 推理与证明测试题 新人教A版选修1-2(6)

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20(分析法).证明：要证

a 2＋1a 2－2≥a ＋1

a

－2，只需证

a 2＋1a 2＋2≥a ＋1

a

＋ 2.

∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（a 2＋1

a 2＋2）2≥（a ＋1

a

＋2）2，

只需证a 2

＋1a

2＋4＋4

a 2＋1

a 2≥a 2＋1

a 2＋2＋22（a ＋1

a

），

只需证

a 2＋1

a 2≥2

2（a ＋1

a ），只需证a 2＋1

a 2≥1

2（a 2

＋1

a

2＋2），

即证a 2

＋1a

2≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.

21.（1）解:P 0＝1，∴P 1＝12 , P 2＝12 ×12 ＋12 ＝34 ，P 3＝12 ×12 ＋34 ×12 ＝5

8

.

（2）证明:棋子跳到第n 站，必是从第n －1站或第n －2站跳来的（2≤n ≤100），所以P n =1

2

P n －1＋1

2

P n －2

∴P n －P n －1＝－P n －1＋12 P n －1＋12 P n －2=－1

2 （P n －1－P n －2），

∴a n =－12 a n －1（2≤n ≤100），且a n ＝P 1－P 0＝－1

2

.

故｛a n ｝是公比为－12 ，首项为－1

2 的等比数列（1≤n ≤100）.

22．结论:

S ΔACD S ΔB CD ＝AE BE 或S ΔACD S ΔB CD ＝S ΔAE C S ΔBE C 或S ΔACD S ΔB CD ＝S ΔAE D

S ΔBED

证明：设点E 是平面ACD 、平面BCD 的距离分别为h 1，h 2，则由平面CD E 平分二面角A －

CD －B 知h 1＝h 2.

又∵S ΔACD S ΔB CD ＝h 1S ΔAC D h 2S ΔBCD ＝V A －CDE

V B －CDE

AE BE ＝S ΔAE D S ΔBED ＝V C －AED V C －BED ＝V A －CDE V B －CDE

∴S ΔACD S ΔB CD ＝AE

BE

A G

F E

B

H

C

图1

A

C E

B

D 图2

F h 2

h 11

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