重庆大学2003年高等代数考研试题(3)

(2) 设e1,e2, ,en是n维线性空间Vn的一组基，对任意n个向量 1, 2, , n Vn，证明存在唯一的线性变换T使得T(ei) i,i 1,2, ,n。

(3) (i) 设A,B为n阶方阵，证明R(AB) R(B)的充分必要条件是ABx 0的解均为Bx 0的解。

(ii) 设A,B为n阶方阵，R(AB) R(B)，证明对于任意可以相乘的矩阵C均有R(ABC) R(BC)。

(iii) 若有自然数k使得R(Ak) R(Ak 1)，则R(Ak) R(Ak j), j 1,2, 。

(4) 设A为n阶实对称矩阵。

(i) 若R(A) n，则存在非负整数r和可逆矩阵P使得

Er

PTAP O

OO ER(A) r

OO O

O

(ii) 记S {x Rn|x'Ax 0}，给出S为Rn的子空间的充分必要条件，并证明你的结论。

(5) 设实二次型f(x) x'Ax,x Rn， 是A的特征值，证明存在非零向量 k1 k 22 2 ，使得f( ) (k12 k2 kn)。 k n

(6) 设f(x),g(x),d(x)是三个多项式，证明

(f(x),g(x)) d(x) (f(x)g(x),) 1。 d(x)d(x)

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