_常微分方程_例题分析(6)

第18卷第2期2005年4月

x

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

y2(x)=

xx

2

[x+(x+)+1]dx02

3

一般地,利用数学归纳法可以证明,n次近似为

yn(x)=2[x+++ +]-2!3!(n+1)!

n+1

x-.(n+1)!

让n→+ ,取极限得

x

y(x)=nlimyn(x)=2(e-1)-x,→+

2

3

n+1

=x+x2+,

3!

三次近似为

y3(x)=0[x+(x+x+)+1]dx

3!

234

=x+x++,

34!

2

3

四次近似为

y4(x)=

34

[x+(x+x++)+1]dx034!

2

2

3

4

5

即原方程的解为

y=2ex-x-2.

参考文献

[1]王光发,吴克乾,邓宗琦等.常微分方程[M].长沙:湖

南教育出版社,1983.

[2]丁同仁,李承治编.常微分方程教程[M].北京:高等

教育出版社,1991.

[3]汤正谊.微分方程解题分析[M].南京:江苏科学技术

出版社,1993.

=x+x+++3125!

23455

=2(x++++)-x-,

2!3!4!5!5!

五次近似为

23456

y5(x)=2(x+++++)-x

2!3!4!5!6!

-,6!

(上接第17页) 从距倾角为 的斜面底部s处,以初速度v0沿斜面运动,物体与斜面间的动摩擦系数为 ( <tg ),物体滑动到底部时与垂直于斜面的档板发生弹性碰撞,碰撞过程中无机械能损失,物体反向弹回后又下滑、反弹,如此往复直至停止运动,求物体在停止运动前所经过的总路程L。此题中物体的初速度方向未知,因此用力的观点解此题会很繁琐,但是物体最后必静止在斜面的底端,在整个运动过程中物体所受阻力的大小恒定,可以将物体的往复运动等效成向同一个方向的匀减速直线运动,其初始能量为:

W0=mgssin +,

2

其末状态能量为0,在整个过程中克服摩擦力做的功为 mgLcos ,这样很容易利用功能关系求出结果。

2

6

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