_常微分方程_例题分析

第18卷第2期2005年4月

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

文章编号:1006-7353(2005)02-0022(08)-05

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《常微分方程》例题分析

徐胜林

(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)

摘要:本文对《常微分方程》的一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的规律,指出必须注意的事项,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。

关键词:常微分方程;解题分析

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

在学习《常微分方程》这门课程的过程中,往往要演算大量的习题,以加深对基本概念、基本方法、基本技巧的理解和记忆,达到灵活运用的程

度,但在解题时,经常会遇到各种各样的困难。本文通过对一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的方法和技巧,以帮助学生提高解题能力,熟练演算技巧,巩固所学知识。

例1 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点,如图1所示。若梯形OCMA的面积与曲

3边三角形CBM的面积之和为+,求f(x)的

63表达式。

分析

本例本

2[1+f(x)]+xf (x)-f(x)=x.222当x 0时,得

2f (x)-f(x)=,

xx

这是一阶线性方程,故

f(x)=e

lnx

--x-dx2

[exdx+C]

x

2=e[e-lnxdx+C]

x

2

=

x(

xdx+C)

=x(x++C)

x2

=x+1+Cx.当x=0时,f(0)=1.

由于x=1时,f(1)=0,故有2+C=0,从而C=-2,所以

f(x)=x2-2x+1=(x-1)2.例2 试证在代换

u=xy,v=y

身并没有直接给出微分方程和初始条件,需要利用已知条件建立f(x)所满足的方程,然后进行求解。

解 根据题意,有

[1+f(x)]+2

两边关于x求导,得

图1

之下,方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0可化为可分离变量方程,并解方程

(x2y2+1)ydx+(x2y2-1)xdy=0.

分析

可分离变量方程是比较容易求解的

方程,是我们求解其他类型方程的基础。在有些方

1

3

.f(t)dt=+x63

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收稿日期:2005-03-10

作者简介:徐胜林(1973 ),男,讲师,主要从事常微分方程方向的教学和研究工作。

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