第五届高数竞赛理工类答案(4)

七、 an = sin π

(

n 2 + k 2 n + nπ

)

= ( 1) sin πn

(

n2 + k 2 nk 2π,

)3分 是交错级数.

= ( 1) sinn

n2 + k 2 + n∞

当 n 充分大时，级数

∑an =1

n

lim sinn→∞

k 2π n2 + k 2 + n∞

=0,且当 n 充分大时 an > an +1 ,因此级数 ，由于

∑an =1

∞

n

收敛. 4 分

其次，考虑级数

∑an =1

n

an k 2π k 2π lim = lim n sin = , n→∞ 1 n →∞ 2 n2 + k 2 + n n因此级数

∑an =1 ∞ n =1

∞

n

发散，

5分

所以级数

∑ sin (π2

n 2 + k 2 条

件收敛.2

)

6分

八、 F ( t ) = =

∫∫∫ z dv + ∫∫∫ f ( x

+ y 2 )dvh

∫

h

0

z 2 dz2

∫∫x + y ≤t2 2

dxdy + ∫ dz02

∫∫x + y ≤t2 2

f ( x 2 + y 2 ) dxdy

2分

=

π h33

t 2 + h ∫ dθ ∫ f ( r 2 )rdr2π

t

3分

0

0

=

π h33

t 2 + 2π h ∫ f ( r 2 ) rdr ,t0

5分 6分

dF 2 3 = π h t + 2π htf ( t 2 ) . dt 3由罗毕达法则得

tf ( t 2 ) π h3 F ( t ) π h3 lim 2 = + lim 2π h = + π hf ( 0 ) . t →0 t →0 t 3 2t 3

7分

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