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解析 由题意f?x???0,1?，所以只需要研究x??1,10?内的根的情况． 在此范围内，x?Q且x?D时，设x?q,p,q?N*,p…2，且p,q互质， pn,m,n?N*,m…2，且m,n互质. m若lgx?Q，则由lgx?(0,1)，可设lgx?nmmq?q? 从而10?，则10n???，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx?Q，

p?p?于是lgx不可能与x?D内的部分对应相等，

所以只需要考虑lgx与每个周期内x?D部分的交点.

如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除?1,0?外，其它交点均为x?D的部分． 且当x?1时，?lgx??x?1?1xln10x?1?1?1，所以在x?1附近只有一个交点， ln10因而方程解的个数为8个．故填8．

第三节 二次函数与幂函数

题型19 二次函数图像及应用——暂无

题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

1.(2017浙江理5)若函数f?x??x?ax?b在区间01，上的最大值是M，最小值是m，

2??则M?m（ ）.

A. 与a有关，且与b有关 B. 与a有关，但与b无关 C. 与a无关，且与b无关 D. 与a无关，但与b有关

2解析 函数f?x??x?ax?b的图像是开口朝上且以直线x??a为对称轴的抛物线. 2①当?aa?1或??0，即a??2，或a?0时，函数f?x?在区间?0,1?上单调，此时22M?m?f?1??f?0??1?a，故M?m的值与a有关，与b无关；

②当剟?12aa??a??1，即?2剟a?1时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上22??2??单调递增，

2?a?a且f?0??f?1?，此时M?m?f?0??f????，故M?m的值与a有关，与b无

24??关； ③当0??a1a??a???，即?1?a?0时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上222??2??单调递增，

a2?a?且f?0??f?1?)，此时M?m?f?1??f????1?a?，故M?m的值与a有关，

4?2?与b无关.

综上可得，M?m的值与a有关，与b无关.故选B．

题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22 二次函数恒成立问题

1.（2017天津理8）已知函数

x，设a?R，若关于x的不等式f?x?…?a2在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）.

39?47??4739?? D.??23,? ?23,2A.??,2? B.??,? C.????16??16??1616???xx解析 解法一：易知f?x?≥0，由不等式f(x)…?a，得?f(x)剟?af(x)， 即

22xxxx?f(x)?剟af(x)?，只需要计算g(x)??f(x)?在R上的最大值和h(x)?f(x)?在

2222R上的最小值即可，

1x1?4747?当x?1时，g(x)??x??3???x?????（当x=时取等号），

2416164??22333?3939?h(x)?x?x?3??x???…（当x?时取等号），

24?16164?22所以?4739； 剟a1616

23322??3当x?1时，g(x)??x????x????23（当x?时取等号），

32x2x??h(x)?x2x2?…2??2（当x=2时取等号）， 2x2xa2. 所以?23剟综上所述，得?47剟a2．故选A． 16x?a的图像，如图所示. 2解法二：分别作出函数和y?2xx若对于任意x?R，f?x?…?a恒成立，则满足x?…?a?x?1?且

2x2xx2x2x2x2?x?3厔??a?x1?恒成立，即a???x?1?，又??2??2，当且仅

22x2x2x当

x2?时，即x?2时取等号，所以a?2. 2x2x?且?a剟x?3?x1?，则?a?24747?2x?a??x??3?，即. ??16216??min综上所述，a的取值范围为???47?,2?.故选A. ?16?44?上的最大值是5，?a?a在区间?1，x2.(2017浙江理17)已知a?R，函数f?x??x?则a的取值范围是 . 解析 设t?x?4，则f(t)?t?a?a，t??4,5?. x?4a?a?5或

?5a??a5?)?f(4?解法一：可知f(t)的最大值为max?f(4),f(5)?，即?)??f(5???a?4.5?f(4)?4?a?a?5， 解得?或 ?a?5f(5)?5?a?a?5????a?4.5，所以a?4.5．则a的取值范围是???,4.5?. ??a?5解法二：如图所示，当a?0时，f(t)?t?a?a?t?5成立；

因为

h??x??ex?2xx?x?x???x??xx?x???a?x?x??ecx??x?????2?a???，

0，所以m?x?在R上单调递增. 令m?x??x?sinx，则m??x??1?cosx…因为m(0)?0，所以当x?0时，m(x)?0；当x?0时，m?x??0. （i）当a?0时，ex?a?0.

当x?0时，h??x??0，h?x?在区间???,0?上单调递减； 当x?0时，h??x??0，h?x?在区间?0,+??上单调递增， 所以当x?0时，h?x?取得极小值，极小值为h?0???2a?1；

xlna（ii）当a?0时，h??x??2e?e???x?sinx?，

由h??x??0，得x1?lna，x2=0. ① 当0?a?1时，lna?0，

当x????,lna?时，h??x??0，此时h?x?单调递增； 当x??lna,0?时，h??x??0，此时h?x?单调递减； 当x??0,???时，h??x??0，此时h?x?单调递增. 所以当x?lna时，h?x?取得极大值，

2ln极大值为h?lna???a??a?2lna?sin?lna??cos?lna??2??，

当x?0时，h?x?取得极小值，极小值是h?0???2a?1； ②当a?1时，lna?0，

0，函数h?x?在???,???上单调递增，无极值点； 所以当x????,???时，h??x?…② 当a?1时，lna?0，

所以 当x????,0?时，h??x??0，此时h?x?单调递增； 当x??0,lna?时，h??x??0，此时h?x?单调递减；

当x??lna,???时，h??x??0，此时h?x?单调递增； 所以当x?0时，h?x?取得极大值，极大值为h?0???2a?1； 当x?lna时，h?x?取得极小值，

2极小值为h?lna???a??lna?2lna?sin?lna??cos?lna??2??.

综上所述：当a?0时，h?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增， 函数h?x?有极小值，极小值为h?0???2a?1；

当0?a?1时，函数h?x?在???,lna?和?0,???上单调递增，在?lna,0?上单调递减，函数

h?x?有极大值，也有极小值，

2ln极大值是h?lna???a??a?2lna?sin?lna??cos?lna??2??，极小值是h?0???2a?1；

当a?1时，函数h?x?在???,???上单调递增，无极值；

当a?1时，函数h?x?在???,0?和?lna,???上单调递增，在?0,lna?上单调递减，函数h?x?有极大值，也有极小值， 极大值是h?0???2a?1，极小值是

2h?lna???a?ln?a?2lna?sin?lna??cos?lna??2??.

3.(2017北京理19)19.已知函数f?x??ecosx?x.

x（1）求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程； （2）求函数f?x?在区间?0,?上的最大值和最小值.

2解析 （1）因为f(x)?excosx?x，所以f?(x)?ex(cosx?sinx)?1，f?(0)?0. 又因为f(0)?1，所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1. （2）设hx()e(?ocsxnis)x1?x???π????，则h?()xe(?cosxnisnisx?cos)x?2enisx?x??xx.

?π??π??h(x)?0h(x)x?0,当，所以在区间?0,?上单调递减. ??时，

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