四川省成都市大弯中学2012年自主招生考试数学试卷(解析版)

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2012 年四川省成都市大弯中学自主招生考试数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．下列计算正确的是（ A．2a ?a =2a 2 3 6
） 2 3 6
B． （3a ） =9a
C．a ÷ =a a
6
2
3
D． （a ） =a
－2
3
－6
2．设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）为反比例函数 x2＜x3，比较 y1、y2、y3 的大小（ A．y1＜y2＜y3 3．如果不等式 B．y1＞y2＞y3 ） C．y1＜y3＜y2
（k＞1）图象上的三点，且 x1＜0 ＜
D．y1＜y2＜y3 ）
的解集 x＞－1，那么 m 的值是（
A．3
B．1
C．－1
D．－3
4．抛物线 y=（1+x） （3－x） A．有最大值 3 B．有最小值－3 C．有最大值 4 D．有最小值 4
5．如图，A，B，C，D 是直线 L 上顺次四点，M，N 分别是 AB，CD 的中点，且 MN=6cm，BC=1cm，则 AD 的长等于（ A．10cm 2
） B．11cm C．12cm D．13cm
6．已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2，与 y 轴的正半轴的 有交点，下列结论：①b＜0；②b －4ac=0；③c＜0；④a－b＜0．其中正确结论的序号是（ A．①② B．①③ C．③④ D．①④ ） 2
）
7．已知三角形 ABC 其内切圆 O 与边 AB 交于 D，若 AD－BD=－5，则 AC－BC=（ A．10 B．5 C．－5 或 5 D．－5
8．如图（单位：m） ，直角梯形 ABCD 以 2m/s 的速度沿直线 l 向正方形 CEFG 方向移动，直到 AB 与 FE 重合，直角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠部分的面积 S 关于移动时间 t 的函数图象可能是（ ）
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A
B
C 的大小关系是（ D． ）
D
9．已知 mn＜0 且 1－m＞1－n＞0＞n+m+1，那么 n，m， ， A． B． C．
10．相邻两边不等的长方形 ABCD，中心为 O．在点 A，B，C，D，O 五个点构成的三角形中，任取两个 三角形，面积相等的概率为（ A． B． ） C． D．
二、填空题（前 4 小题每小题 4 分，第 15 小题 6 分共 22 分） 11．函数 中 x 的范围为 _________ ． 2 2 2 2
12．设 a，b，c 满足 b +c =2a +16a+14 及 bc=a －4a－5，则 a 的取值范围为 _________ ． 13．若规定：①{m}表示大于 m 的最小整数，例如：{3}=4，{－2.4}=－2；②[m]表示不大于 m 的最大整数， 例如：[5]=5，[－3.6]=－4，则使等式 2{x}－[x]=4 成立的整数 x= _________ ． 14．如图，△ ABC 的外接圆的圆心坐标为 _________ ．
15．用你发现的规律解答下列问题． ┅┅ （1）计算 （2）探究 （3） = _________ ． = _________ ． （用含有 n 的式子表示） 的值为 ，n= _________ ．
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（4）求
=
_________ ． （用含有 n 的式子表示）
三、解答题（第 16 题每小题 8 分，第 17 题、第 18 题 8 分，19 题为 10 分，第 20 题 14 分） 16． （1）计算：
（2）解分式方程：
．
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17．如图，在△ ABC 中，∠A=90° ，AB=4，AC=3，点 M 是 AB 上的动点（不与 A，B 重合） ，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N．以 MN 为直径作⊙O，并在⊙O 内作内接矩形 AMPN，令 AM=x． （1）用含 x 的代数式表示△ MNP 的面积 S； （2）当 x 为何值时，⊙O 与直线 BC 相切？
18．关于 x 的方程 （1）求 k 的取值范围；
有两个实数根． （包括两个相等实数根）
（2）是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理 由． （3）若 y=k（3+k） 1+x2） 为自变量，用 k 表示 y 并求 y 的最大值． （x ，k
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19．青白江为了在樱花节期间做好气候工作服务，某天，据某气象中心观察和预测：发生于青白江正北方 的 M 地的一片雷雨云一直向正南方向移动，其移动速度 V（km/h）与时间 t（h）的函数图象如图所示， 过线段 OC 上一点 T（t，O）作横轴的垂线 L，梯形 OABC 在直线 L 左侧部分的面积即为 t（h）内雷雨 云所经过的路程 S（km） ．[ （1）当 t=4 时，求 S 的值； （2）将 S 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来； （3）若青白江距 M 地 650km，试判断这场雷雨云是否会影响到青白江城，如果会，在雷雨云发生后多 长时间它将影响到青白江？如果不会，请说明理由．
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20．已知抛物线 y=3ax +2bx+c， （Ⅰ）若 a=b=1，c=－1，求该抛物线与 x 轴公共点的坐标； （Ⅱ）若 a=b=1，且当－1＜x＜1 时，抛物线与 x 轴有且只有一个公共点，求 c 的取值范围； （Ⅲ）若此抛物线过点 A（0，3） ，B（1，0） ，C（3，0） ，在此抛物线上有一点 P，使它到 AC 的距离 为 ，求 P 点坐标； （Ⅳ）若 a+b+c=0，且 x1=0 时，对应的 y1＞0；x2=1 时，对应的 y2＞0，试判断当 0＜x＜1 时，抛物线 与 x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
2
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参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1．下列计算正确的是（ A．2a ?a =2a 2 3 6
） 2 3 6
B． （3a ） =9a
C．a ÷ =a a
6
2
3
D． （a ） =a
－2
3
－6
考点： 负整数指数幂；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。 分析： 根据幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法、负整数指数幂的知识点进行判断． 解答： 解：A、错误，应等于 2a5； B、错误，应等于 27a ； C、错误，应等于 a ； D、正确． 故选 D． 点评： 本题考查的知识点比较多，特别注意负整数指数幂的运算． 4 6
2．设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）为反比例函数 x2＜x3，比较 y1、y2、y3 的大小（ A．y1＜y2＜y3 B．y1＞

y2＞y3 ） C．y1＜y3＜y2
（k＞1）图象上的三点，且 x1＜0＜
D．y1＜y2＜y3
考点： 专题： 分析：
反比例函数图象上点的坐标特征。 计算题。 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据 A、B、C 三点横坐标的特点判断出 三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．
解答： 解：∵反比例函数
中，k＞1，则 k －1＞0，
2
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小， ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y1＜0，y2＞0、y3＞0， ∵x2＜x3， ∴y2＞y3， ∴y2＞y3＞y1． - 7 -
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故选 C． 点评： 本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增 减性．
3． （2004?黄石）如果不等式
的解集 x＞－1，那么 m 的值是（
）
A．3 考点： 分析： 解答：
B．1
C．－1
D．－3
解一元一次不等式组。 先根据不等式组的解集确定出 2m+1=－1，或 m+2=－1，求出符合条件的 m 值即可． 解：∵不等式 组 x＞2m+1，x＞m+2 的解集 x＞－1， ∴2m+1=－1，或 m+2=－1 当 2m+1=－1 时，m=－1，此时 m+2=1，则不等式组的解集为 x＞1，不满足要求； 当 m+2=－1 时，m=－3，此时 2m+1=－5，则不等式组的解集为 x＞－1，满足要求； 故满足条件的 m=－3 故选 D．
点评：
本题主要考查了不等式组的解集的确定方法：两大取大，两小取小，大小、小大两边取．
4．抛物线 y=（1+x） （3－x） A．有最大值 3 B．有最小值－3 C．有最大值 4 D．有最小值 4
考点： 专题： 分析： 解答：
二次函数的最值。 计算题。 将抛物线解析式转化为一般式，再配方，求出函数的最值． 解：∵y=（1+x） （3－x） =－x +2x+3 =－（x －2x）+3 =－（x －2x+1－1）+3 =－（x －2x+1）+4 =－（x－1） +4， 2 2 2 2 2
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∴抛物线有最大值 4． 故选 C． 点评： 本题考查了二次函数的最值，根据二次项系数判断出函数有最大值还是最小值，再利用配方法是解 答此类问题的基本思路．
5．如图，A，B，C，D 是直线 L 上顺次四点，M，N 分别是 AB，CD 的中点，且 MN=6cm，BC=1cm，则 AD 的长等于（ A．10cm 考点： 专题： 分析： 解答： ） B．11cm C．12cm D．13cm
比较线段的长短。 计算题。 由已知条件知 MB+CN=MN－BC，MB+CN= （AB+CD） ，故 AD=AB+BC+CD 可求． 解：∵MN=6cm ∴MB+CN=6－1=5cm，AB+CD=10cm ∴AD=11cm． 故选 B．
点评：
本题的关键是根据图形分清线段的关系利用已知条件求出 AD 的长．
6．已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2，与 y 轴的正半轴的 有交点，下列结论：①b＜0；②b －

4ac=0；③c＜0；④a－b＜0．其中正确结论的序号是（ A．①② 考点： 分析： B．①③ C．③④ D．①④ 2
2
）
二次函数图象与系数的关系。 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称 轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：
解：①∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2，与 y 轴的正 半轴的有交点， ∴该二次函数图象的开口向下，且对称轴 x=－ ∴a＜0， ＞0， ＜0，
2
∴a、b 同号，即 b＜0； 故本选项正确；
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②∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴有两个不同的交点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2， ∴△=b －4ac＞0； 故本选项错误； 2
2
③∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 y 轴的正半轴的有交点， ∴c＞0； 故本选项错误；
2
④∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点（－2，0）（x1，0） 、 ，且 1＜x1＜2， ∴－1＜x1－2＜0，即－1＜ ＜0； 又由①知，a＜0，b＜0， ∴a＜b，即，a－b＜0； 故本选项正确； 综上所述，正确的说法是①④； 故选 D． 点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系， 会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系， 根的判别式的熟 练运用．
2
7．已知三角形 ABC 其内切圆 O 与边 AB 交于 D，若 AD－BD=－5，则 AC－BC=（
）
A．10
B．5
C．－5 或 5
D．－5
考点： 三角形的内切圆与内心。 分析： 先根据切线长定理，得出 AD=AE，CE=CF，BF=BD，然后得出 AC－BC=AD－BD，即可求出答案． 解答： 解：∵三角形 ABC 其内切圆 O 与边 AB 交于 D， ∴AD=AE，CE=CF，BF=BD，
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∴AC－BC=AE－BF=AD－BD=－5． 故选 D．
点评： 此题考查了三角形的内切圆与内心，用到的知识点是切线长定理，关键是根据 AD=AE，CE=CF， BF=BD 得出 AC－BC=AD－BD．
8． （2006?滨州）如图（单位：m） ，直角梯形 ABCD 以 2m/s 的速度沿直线 l 向正方形 CEFG 方向移动，直 到 AB 与 FE 重合，直角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠部分的面积 S 关于移动时间 t 的函数图象可能是 （ ）
A 考点： 动点问题的函数图象。
B
C
D
分析： 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到 正确的结论． 解答： 解：根据几何图形可知直角梯形的面积为 75，当直角梯形 ABCD 以 2m/s 的速度沿直线 l 向正方形 CEFG 方向移动， 直到 AB 与 FE 重合， 直角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠部分的面积 S 关于移动 时间 t 的变化规律是逐渐增大，直至 75 平方米，然后逐渐减小到 0，2 段都是平滑曲线．并且在

直 角梯形 ABCD 与正方形 CEFG 重叠时，重叠部分的面积是 t 的二次函数，因而是抛物线． 故选 C． 点评： 主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．
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9．已知 mn＜0 且 1－m＞1－n＞0＞n+m+1，那么 n，m， ， A． 考点： 分析： 实数大小比较。 B． C．
的大小关系是（ D．
）
根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值 大的反而小即可解答．
解答：
解：∵mn＜0， ∴m，n 异号， 由 1－m＞1－n＞0＞n+m+1，可知 m＜0，0＜n＜1，|m|＞|n|． 假设符合条件的 m=－4，n=0.2 则 =5，n+ =0.2－ =－ 则－4＜－ ＜0.2＜5
故 m＜n+ ＜n＜ ． 故选 D． 点评： 此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键根据已知条件分析出 n，m 的符号，绝对值的 大小，再设出符合条件的数值比较大小，以简化计算．

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