四川省成都市大弯中学2012年自主招生考试数学试卷(解析版)(3)

方程 3x +2x－1=0 的两个根为 x1=－1，x2= ， ∴该抛物线与 x 轴公共点的坐标是（－1，0）和（ ， 0） ； （Ⅱ）当 a=b=1 时，抛物线为 y=3x +2x+c，且与 x 轴有公共点． 对于方程 3x +2x+c=0，判别式△ =4－12c≥0，有 c≤ ， ①当 c= 时，由方程 3x +2x+ =0，解得 2 2 2 2
2
．
此时抛物线为 y=3x +2x+ =0 与 x 轴只有一个公共点（－ ，0） ， ②当 c＜ 时，x1=－1 时，y1=3－2+c=1+c，x2=1 时，y2=3+2+c=5+c． 由已知－1＜x＜1 时，该抛物线与 x 轴有且只

有一个公共点，考虑其对称轴为 ，
应有
，即
解得－5＜c≤－1． 综上，c= 或－5＜c≤－1．
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（Ⅲ） 把点 A （0， ， 3） B （1， ，（3， 的坐标分别代入已知抛物线 y=3ax +2bx+c 得： 0） C 0）
2
，
解得：
，
∴二次函数的解析式为 y=x －4x+3， 设与 BC：y=－x+3 平行的直线 l 为 y=－x+b，可求得 l 到 BC 距离为 y=x－15， 所以可求得点 P 坐标为： （－3，24）及（6，15） ； （Ⅳ）对于二次函数 y=3ax +2bx+c， 由已知 x1=0 时，y1=c＞0；x2=1 时，y2=3a+2b+c＞0， 又 a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b． 于是 2a+b＞0．而 b=－a－c，∴2a－a－c＞0，即 a－c＞0． ∴a＞c＞0． ∵关于 x 的一元二次方程 3ax +2bx+c=0 的判别式△ =4b －12ac=4（a+c） －12ac=4[（a－c） +ac] ＞0， ∴抛物线 y=3ax +2bx+c 与 x 轴有两个公共点，顶点在 x 轴下方． 又该抛物线的对称轴 ， 2 2 2 2 2 2
2
的直线为 y=－x+21 或者为
由 a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0， 得－2a＜b＜－a， ∴ ．
又由已知 x1=0 时，y1＞0；x2=1 时，y2＞0，观察图象， 可知在 0＜x＜1 范围内，该抛物线与 x 轴有两个公共点．
点评： 本题考查了二次函数与 x 轴的交点的纵坐标为 0；抛物线与 x 轴交点的个数就是一元二次方程根的 个数的问题，以及二次函数图象与一次函数函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函 数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位
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置关系判断出图象特征来解决问题．
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