2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结

2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理： 1. 双曲线的定义

第一定义：当||PF1|?|PF2||?2a?|F1F2|时, P的轨迹为双曲线; 当||PF1|?|PF2||?2a?|F1F2|时, P的轨迹不存在;

当|PF1?PF2|?2a?F1F2时, P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线 2. 双曲线的标准方程与几何性质

标准方程 x2y2?2?1(a,b?0) 2aby2x2?2?1(a,b?0) 2ab图像 焦点 焦距 范围 性 质 轴 离心率 渐近线 2．共渐近线的双曲线系方程： x2y2x2y2

与双曲线a2－b2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为a2－b2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在x轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y轴上． 等轴双曲线x2?y2??a2的渐近线方程为y??x ，离心率为e?2.； 3．基础三角形如图，△AOB中，|OA|＝a，|AB|＝b，|OB|＝c，tan∠AOB

y??bx a(c,0),(?c,0) (0,c),(0,?c) 2c |x|?a,y?R |y|?a,x?R 对称性 顶点 关于x轴、y轴和原点对称 (a,0),(?a,0) (0,?a),(0,a) 实轴长2a，虚轴长2b e?c?(1,??) ay??ax bb

＝a， △OF2D中，|F2D|＝b.

4. 注意定义中“陷阱”

问题1：已知F1(?5,0),F2(5,0)，一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6，则双曲线的方程为

点拨：一要注意是否满足2a?|F1F2|，二要注意是一支还是两支

x2y2?1(x?0) ?|PF1|?|PF2|?6?10P的轨迹是双曲线的右支.其方程为? ，9165. 注意焦点的位置

3问题2：双曲线的渐近线为y??x，则离心率为

2b3a31313点拨：当焦点在x轴上时，?，；当焦点在y轴上时，?， e?e?a2b223

热点考点题型探析

考点1 双曲线的定义及标准方程

题型1：运用双曲线的定义

[例1] 已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1、C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )

x2y2x2y2

A．x＝0 B. 2－14＝1(x≥2) C. 2－14＝1

x2y2

D. 2－14＝1或x＝0

解析：如右图，动圆M与两圆C1、C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都相外切，②动圆M与两圆都相内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切. ④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切. 在①②的情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，则

|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2

故得|MC1|－|MC2|＝22；在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝22 由③④得|MC1|－|MC2|＝±22

根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线，x2y2

且a＝2，c＝4，b＝c－a＝14，其方程为2－14＝1. 由①②③④可知选D.

2

2

练习

y2?1上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：1.设P为双曲线x?122|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为

A．63

B．12

（ ）

C．123

D．24

解析：a?1,b?12,c?13,由|PF 1|:|PF2|?3:2 ①

又|PF1|?|PF2|?2a?2,② 由①、②解得|PF1|?6,|PF2|?4.

?|PF1|2?|PF2|2?52,|F1F2|2?52,

?PF1F2为直角三角形，

?S?PF1F2?11|PF1|?|PF2|??6?4?12.故选B。 22x2y2??1的左焦点，双曲线C上的点2. 如图2所示，F为双曲线C:916Pi与P7?i?i?1,2,3?关于y轴对称，则

P1F?P2F?P3F?P4F?P5F?P6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27 [解析] P1F?P6F?P2F?P5F?P3F?P4F?6，选C

x2y23. P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，

ab且焦距为2c，则?PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A）?a （B）?b （C）?c （D）a?b?c

［解析］设?PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为x0，

由圆的切线性质知，PF2?PF1?|c?x0|?|x0?(?c)|?2a?x0??a 题型2 求双曲线的标准方程

y2x2[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2），求

164双曲线C的方程．

y2x2 [解析] 解法一：设双曲线方程为2－2=1.由题意易求c=25.

ab(32)24又双曲线过点（32，2），∴2－2=1.

aby2x2又∵a+b=（25），∴a=12，b=8. ∴所求双曲线的方程为－=1.

128y2x2解法二：设双曲线方程为－＝1，将点（32，2）代入得k=4，

16?k4?ky2x2所以双曲线方程为－＝1.

1282

2

2

2

2

练习

4. 已知双曲线的渐近线方程是y??x，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线

2的方程为 ；

[解析]设双曲线方程为x2?4y2??， 当??0时，化为

x2?y2?y2?4?1，?25??10???20， 4y25???1，?2?当??0时，化为?10????20， ???4?4x2y2y2x2?1或??1 综上，双曲线方程为?5202055. 以抛物线y2?83x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x?3y?0的双曲线方程为______________.

[解析] 抛物线y2?83x的焦点F为(23,0)，设双曲线方程为x2?3y2??，

4?x2y22??(23)???9，双曲线方程为??1 3936. 已知点M(?3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与

圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为

y2y22?1(x??1) B．x??1(x?1) A．x?882y2y22?1（x > 0） D．x??1(x?1) C．x?8102[解析]PM?PN?BM?BN?2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

x2y2[例3] 已知双曲线2?2?1,(a?0,b?0)的左，右焦点分别为F1,F2，点P

ab在双曲线的右支上，且|PF1|?4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为 ．

【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决

[解析](方法1)由定义知|PF1|?|PF2|?2a，又已知|PF1|?4|PF2|，解得

82a，PF2?a，在?PF1F2中，由余弦定理，得3364242a?a?4c21799cos?F1PF2?9??e2，要求e的最大值，即求cos?F1PF2的最

82882?a?a3355小值，当cos?F1PF2??1时，解得e?．即e的最大值为．

33|PF2a?|PF2|2a2a1|(方法2) ? ， ??1??1?|PF2||PF2||PF2|c?aPF1?双曲线上存在一点P使|PF1|?4|PF2|，等价于1?2a5?4,?e? c?a3 (方法3)设P(x,y)，由焦半径公式得PF1?ex?a,PF2?ex?a，∵PF1?4PF2，∴(ex?a)?4(ex?a)，∴e?5值为．

35a5，∵x?a，∴e?，∴e的最大3x3总结

（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化；

搜索“diyifanwen.net”或“第一范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，第一范文网，提供最新高中教育2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结全文阅读和word下载服务。