2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结(3)

?????????（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA?OB?2（其中O为原点），求k的取值范围

x2y2解（1）设双曲线方程为2?2?1

ab由已知得a?3,c?2，再由a2?b2?22，得b2?1

x2故双曲线C的方程为?y2?1.

3x2（2）将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0

3?1?3k2?0? 由直线l与双曲线交与不同的两点得???62k????2?36(1?3)?36(1?k)?022

即k2?1且k2?1. ① 设A?xA,yA?,B(xA,yB),，则 3????????62?9xA?yB?,xAyB?，由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2， 221?3k1?3k而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxb?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2

?962k3k2?7. ?(k?1)?22k?2?2221?3k1?3k3k?1213k2?7?3k2?92?k?3. ②?2，即?0于是2解此不等式得 233k?13k?11由①+②得?k2?1

3故的取值范围为(?1,?

3?3?)??,1? ??3?3?

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