初中数学育才中学中考总复习《二次函数》专题训练(3)

… … x 0 3 ﹣1 2… … 0 0 y1=ax+bx+c 24．（2013?泰安）如图，抛物线y=x+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值． （3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

22

25．（2013?太原）综合与探究：

如图，抛物线y=x﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

26．（2013?台州）如图1，已知直线l：y=﹣x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x﹣1）+k经过点A，其顶点为B，

2

另一抛物线y=（x﹣h）+2﹣h（h＞1）的顶点为D，两抛物线相交于点C． （1）求点B的坐标，并说明点D在直线l上的理由； （2）设交点C的横坐标为m．

①交点C的纵坐标可以表示为： _________ 或 _________ ，由此进一步探究m关于h的函数关系式； ②如图2，若∠ACD=90°，求m的值．

2

27．（2013?遂宁）如图，抛物线y=

x+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx

2

过

点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． （1）求抛物线y=

x+bx+c与直线y=kx

2

的解析式；

（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

28．（2013?绥化）如图，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．

29．（2013?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax+bx﹣3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q． （1）求a和b的值； （2）求t的取值范围；

（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

2

30．（2013?深圳）如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=

x+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．

2

（1）点B的坐标为（ _________ ， _________ ），抛物线的表达式为 _________ ； （2）如图2，求证：BD∥AC；

（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．

《二次函数》(一)

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

2

1．（2013?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值； （3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）如答图1所示，利用已知条件求出点B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图2所示，首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标，从而确定了Rt△AGF的各个边长；然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点Q的坐标． 解答： 解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2． ∵tan∠DBA==， ∴BE=6， ∴OB=BE﹣OE=4， ∴B（﹣4，0）． 2∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax+bx﹣2（a≠0）上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x+x﹣2． 2 （2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2， 令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2）， 令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）． 设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0）， 如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m． S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC =BF?MF+（MF+OC）?OF+OA?OC =（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2 =﹣2n﹣m+1 ∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上， ∴n=m2+m﹣2，代入上式得： S22四边形BMCA=﹣m﹣4m+5=﹣（m+2）+9， ∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9． （3）假设存在这样的⊙Q． 如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F． 设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得： ， 解得：k=2，b=﹣2， ∴直线AC解析式为：y=2x﹣2， 令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6． 在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3． 设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==． 设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=． 在Rt△AGF与Rt△QEF中， ∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE， ∴Rt△AGF∽Rt△QEF， ∴，即， 化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=4或n=﹣1． ∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）． 点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，求出符合条件的点Q坐标． 2．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直

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