初中数学育才中学中考总复习《二次函数》专题训练(5)

∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中． 18．（2013?无锡）如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3． （1）求点A的坐标；

（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出==，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标； 2（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y1），列出方程，解方2程求出y1的值，将A，B两点坐标代入y=ax+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC2时，设C（2，y2），列出方程，解方程求出y2的值，将A，C两点坐标代入y=ax+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式． 解答： 解：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F． 由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①． ∵DF∥BE， ∴△ADF∽△ABE， ∴==，即AE=2AF②， ①与②联立，解得AE=2，AF=1， ∴点A的坐标为（﹣2，0）； （2）∵抛物线过原点（0，0）， 2∴可设此抛物线的解析式为y=ax+bx． ∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0）， ∴对称轴为直线x==﹣1， ∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4， ∴C点横坐标为2， ∴BC=2﹣（﹣4）=6． ∵抛物线开口向上， ∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC， ∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论： ①当OB=BC时，设B（﹣4，y1）， 则16+=36，解得y1=±2（负值舍去）． ）代入y=ax+bx， 2将A（﹣2，0），B（﹣4，2得，解得． ∴此抛物线的解析式为y=x+2x； ②当OC=BC时，设C（2，y2）， 则4+=36，解得y2=±4（负值舍去）． ）代入y=ax+bx， ． 22将A（﹣2，0），C（2，4得，解得∴此抛物线的解析式为y=x+x． x+2综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y=x或y=x+2x． 点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 19．（2013?乌鲁木齐）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E． （1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标； （4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）证明IF⊥OD，进而得到∠FED=∠EBA；又因为DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°，故可证明△OAD≌△EAB； （2）首先求出点B、E的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）由于直线BD与x轴关于直线BF对称，则抛物线与直线BD的交点即为所求之点P．分别求出抛物线与直线BD的解析式，联立解方程，即可求出交点（点P）的坐标； （4）首先证明△OED是顶角为135°的等腰三角形，若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形．如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3． 解答： （1）证明：如答图1所示，连接ID，IO， ∵I为△BOD的外心，∴IO=ID， 又F为OD的中点，∴IF⊥OD． ∴∠DEF+∠FDE=∠AEB+∠ABE=90°，又∠DEF=∠AEB， ∴∠FED=∠EBA．而DA=BA，且∠OAD=∠EAB=90°， ∴△OAD≌△EAB． （2）解：由（1）知IF⊥OD，又BF为中线， ∴BO=BD=AB=2， ∴OA=BO﹣AB=2﹣． 由（1）知△OAD≌△EAB，∴AE=OA=2﹣， ∴E（2﹣，2﹣），B（2，0）． 2设过点O、B、E的抛物线解析式为y=ax+bx， 则有， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x+2x． （3）解：∵直线BD与x轴关于直线BF对称， ∴抛物线与直线BD的交点，即为所求之点P． 由（2）可知，B（2，0），D（2﹣，），可得直线BD的解析式为y=﹣x+2． ∵点P既在直线y=﹣x+2上，也在抛物线y=∴﹣x+2=x+2x+， 2x上， x，解此方程得：x=2或x=当x=2时，y=﹣x+2=0；当x=时，y=﹣x+2=2﹣， ∴点P的坐标为（2，0）（与点B重合），或（，2﹣）． （4）解：∵∠DBO=45°，BD=BO，BF⊥OD， ∴∠EBA=22.5°，由（1）知∠ODA=22.5°，故∠DOA=67.5°，OA=EA， ∴∠EOA=45°，∠DOE=22.5°，即△OED是顶角为135°的等腰三角形． 若△BMD与△OED相似，则△BMD必须是等腰三角形． 如答图2所示，在直线BF上能使△BMD为等腰三角形的点M有4个，分别记为M1，M2，M3，M4，其中符合题意的是点M1，M3． ∵DM1=DB=2，OA=2﹣，∴M1（﹣，）． 由（1）知B（2，0），E（2﹣，2﹣），故直线BE的解析式为y=（1﹣）x﹣2+2． I是△BOD的外心，它是OB的垂直平分线x=1与OD的垂直平分线BE的交点， ∴I（1，﹣1），即M3（1，﹣1）． 故符合题意的M点的坐标为（﹣，），（1，﹣1）． 点评： 本题考查了二次函数综合题型：第（1）问涉及全等三角形的证明；第（2）问涉及利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；第（3）问涉及轴对称知识，以及抛物线与一次函数的交点问题；第（4）问涉及相似三角形的判定，以及点的坐标的确定与计算．本题涉及考点众多，难度较大，对数学能力要求较高． 20．（2013?潍坊）如图，抛物线y=ax+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交与A，B，C三点，且AB=4，点D（2，）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx﹣2（k≠0）的图象，点O是坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；

（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M，N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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