回归教材本源 以不变应万变
前言
三年的跋涉，三年的登攀，距离成功的顶峰虽然只有咫尺之遥，但这时你可千万不要松劲。这好比是逆水行舟，“一篙松劲退千寻”。也许你一路领先，请不要骄傲，更不能飘飘然，因为你还没越过成功的终点线。再鼓余勇，完全释放自身的潜能，建立一骑绝尘般的优势是你的最佳选择。如果暂时落后，也不必妄自菲薄，更不要盲目悲观。虽然时间已很紧迫，只要肯努力，只要不放弃，一切皆有可能！相信并不差劲的你，不会自甘平庸，看好你潜能的爆发。请坚信，只要拥有涅槃的勇气，定会迎来凤舞九天的辉煌。
对回归复习提出以下建议：
重视课本。重点放在基础上，适当降低复习难度，抓好抓牢基础题，夯实基础。拿严拿准拿稳基础分，以一般题为主，狠抓通性通法的训练。
重视知识的网络化。在复习过程中，务必在知识脉络的形成、知识结构系统性和知识间的联系、方法的迁移上多下功夫，让知识结构网络化，把数学知识串成串，连成线，汇成面，尽力和高考要求对位，处处体现各知识板块间的相互综合性。
重视做题过程、步骤的标准化。每年高考的判卷标准都时刻提醒我们规范答题的重要性。
我们理科数学组的全体成员共同编写了这份自主复习资料。通过回归，可以熟悉基本知识，基本概念，使知识结构网络化。通过复习，可以夯实基础，悟出解题的通性通法。
实现自己的理想，完成亲人的心愿，不辜负老师的期盼，这是你起码的担当！奋勇登攀，才能感受一览纵山小的豪迈！成功登顶，才能享受无限风光在险峰的喜悦！
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【5月22日两节正课复习集合、简易逻辑 ,复数+小练习6】 一.集合、简易逻辑 ,复数
1．区分集合中元素的形式，明确集合的属性
?x|y?lgx?函数的定义域；?y|y?lgx?函数的值域；?(x,y)|y?lgx?图象上的点集
如:①设集合M?{x|y?2?x}，集合N?{y|y?2?x}，则MN?___ ( [0,2])
2．集合的交、并、补运算. 遇到A∩B＝?时，要注意A＝?或B＝?；同样在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，不要忽略A＝?的情况
如：①若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x<2}，则?UP＝( ) (答案：A) A．{2} B．{0,2} C．{－1,2} D．{－1,0,2} ②(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( ) D A.5
B.4
C.3
D.2
2
③集合A= ,B= ,且A B=B,则实数a=___(0,1, ) ④ (2015·浙江卷)已知集合P＝{x|x－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(?RP)∩Q＝( )C A.[0，1)
B.(0，2]
C.(1，2)
D.[1，2]
2
3. “否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．全称命题和特称命题的否定步骤:把量词改变,把结果否定) ?x∈M，p(x)的否定是?x0∈M，?p(x0) ?x0∈M，p(x0)的否定是 ?x∈M，?p(x) 如：①(2015·全国Ⅰ卷)已知命题p：?n∈N,2n＞1 000，则?p为( ) (答案：A) A．?n∈N,2n≤1 000 B．?n∈N,2n＞1 000
C．?n∈N,2n≤1 000 D．?n∈N,2n＜1 000
?π?tan ②(2015·山东卷)若“?x∈?0，?，x≤m”是真命题，则实数m的最小值为_____. 1
4??
③若命题“?x0∈R，使得x0＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________. 答案(－∞，－1)∪(3，＋∞) 4．四种命题以及条件的判断
(1)原命题与它的逆否命题互为逆否命题 (即左上四个命题有2对逆否命题) (2) 互为逆否命题的两个命题是 等价的(即真假相同,亦即这4个命题中,真命题的个数可能是0个,2个,4个,但不可能是1
2
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个,3个) （3）条件判断要明确：①谁是谁的什么条件；②是否可以转化为数集关系解答。 如： ①\??sin?\是\???\的 条件；（答：充分不必要条件） ②在?ABC中，a>b是sinA>sinB的___________条件。（答案：充分必要条件） ③.(2015·安徽卷)设p：1
2
xD.既不充分也不必要条件
④.ax＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( ) ( C) A.0＜a≤1 B.a＜1 C.a≤1 D.0＜a≤1或a＜0
5．其它问题: ①空集是指不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合
n的真子集 ②含n个元素的集合的子集个数为2，真子集个数为2?1等
n①满足{1,2}?（答：7） ?M?{1,2,3,4,5}集合M有______个；6． 复数的概念
i?复数的代数表达式：z?a?bi（a?R,b?R）。z?ab为实数的充要条件是b=0，纯虚
数的充要条件是a?0且b?0，虚数的充要条件是b?0，复数相等的充要条件是实、虚部分别相等
①i是虚数单位，若复数(1?2i)(a?i)表示纯虚数,则a=________(答案:-2)
b②设a,b?R,(i为虚数单位)，则ab=0是复数a+为纯虚数的_______条件(答案:必要不充
i分)
③已知Z是纯虚数，
z?2是实数，那么Z的虚部为_____ (答案: -2) 1?i7. 复数的运算(主要是乘法和除法，除法注意分子分母同乘以分母的共轭复数，将分母实化) i的方幂运算规律：n?N*时，i4n?1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i ①已知i是虚数单位，则
3?i=( ) （答案：D） 1?iA ．1-2i B．2-i C．2+i D．1+2i
(1?i)2②复数?（ ） （答案：B）
2iA．1 B．?1 C．i D．?i
232013③已知i是虚数单位，则i?i?i?...?i＝（ ）
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Ａ．i Ｂ．?i Ｃ．1 Ｄ．-1 8. 复数的几何意义：z?a?bi?????点(a,b)??????向量OZ ?????????一 一 对应一 一 对应9．复数z?a?bi 的模（或绝对值）及共轭复数的概念
|z|=|a?bi|=a2?b2, z的共轭复数为z?a?bi
如①i为虚数单位，z?②下面是关于复数z?5?i则复数z的模为____，表示复数z的点是第___象限(,一)
52?i2的四个命题：其中的真命题为（ ）（答案：C） ?1?i p1:z?2 p2:z2?2i p3:z的共轭复数为1?i p4:z的虚部为?1
(A)p2,p3 (B) p1,p2 (C)p?,p? (D)p?,p?
【5月23日两节正课 基本初等函数与导数】
二、基本初等函数与导数
1．基本初等函数 （1）二次函数：
二次函数在区间最值：一看开口方向，二看对称轴与区间的相对位置关系。 二次函数与x轴交点的横坐标即为一元二次方程的根，也为一元二次不等式解集的区间端点
12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝ （ 2） 2172②函数y?2sinx?3cosx?1的值域为__ _（答：[?4,]）
8如：①若函数y????,16）③已知f(x)?4x?mx?5在?2,???上是增函数，则m的取值范围为____. (答案：
2?④函数f(x)?2lnx的图像与函数g(x)?x?4x?5的图像的交点个数___.(答案：2）
2⑤f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围
为_________. (－2，1).
x（2）指数函数和对数函数:y?a与y?longa(a?0,a?1)互为反函数，它们的图像关于xy=x对称。 10＋9x－x如①函数f(x)＝的定义域为( ) (答案： D)
lg（x－1）
4
2
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A.[1，10]
B.[1，2)∪(2，10] C.(1，10] D.(1，2)∪(2，10]
?1＋log2（2－x），x＜1，?
②(2015·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝?x－1 ?2，x≥1，?
则f(－2)＋f(log212)＝( ) (答案： C) A.3
2B.6
32C.9 D.12
322③设a?()5,b?()5,c?()5，则a，b，c的大小关系是（ ）（答案：Ａ）
555A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
2??x＋－3，x≥1，
④ (2015·浙江卷)已知函数f(x)＝?x则f(f(－3))＝________，f(x)
??lg（x2＋1），x＜1，的最小值是________. (答案：0 22－3)
2,3-1，）的幂函数的图像和性质 (3) 幂函数：y?x? （??R)重点掌握（??1，如①幂函数f(x)的图象经过点P(,),则f(10)=______(答案：100) 2．函数的单调性
(1)判定：①定义法(做差法：任取x1?x2,比较f(x1),f(x2)的大小;若
121124f(x1)?f(x2)?0,x1?x2(x1?x2)则f(x)在定义域内单调递增；若
f(x1)?f(x2)?0,(x1?x2)，则f(x)在定义域
x1?x2内单调递减。）②导数法；注意f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数
f(x)?x3在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，所以f?(x)?0是f(x)为增函数的充分
不必要条件. ③图像法
如：①下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是( ) （答案：A） A.y=ln（x+2） B.y=-x?1 C.y=（
x1x1） D.y=x+ 2x②函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是( ) (答案：D)
A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) 21世纪教育网
③)函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是_ （答：(??,3]）
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?1?④已知f(x)为R上的减函数，则满足f??＞f(1)的实数x的取值范围是( )( 答案：D)
?x?
A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，0)∪(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)
??（1－2a）x＋3a，x＜1，
⑤已知f(x)＝?的值域为R，那么a的取值范围是( )( 答案：C )
?ln x，x≥1?
1?1????1?A.(－∞，－1] B.?－1，? C.?－1，? D.?0，?
2?2????2?3．函数的奇偶性与周期性
①f(x)是偶函数?f??x??f?x?=f(|x|) ；②f(x)是奇函数?f(?x)??f(x) 定义域含0的奇函数满足f(0)?0；③定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；④抽象函数性质（a?0）：若f(a?x)??f(x)或f(a?x)?1或f(x)f(a?x)??1，则f(x)以T?2a为周期的周期函数。 f(x)如①下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）(答案：D)
1 D. y?x|x| x11?a是奇函数，则a? ． (答案：) ②若f(x)?x2?12A. y?x?1 B. y??x C. y?2③设函数f(x)?xcosx?1，若f(a)?11，则f(?a)?________ (答案：-9) ④(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) (答案：C) A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
34．常见的图象变换： (1)平移 (2)对称
(1)若a?0则函数y?f?x?a?的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单位得到的, y?f?x?a?是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的，函数
y?f?x?+a的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上平移a个单位得到的
(2)y?f(x)?y?f(x)方法是：保留x轴上方的图象不变，把x轴下方的图象对称到轴上方；y=f(x)?y=f(|x|)方法是：保留y轴右边的图像不变，把y轴右边的图像对称到左
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?2?边。如：①已知函数f(x)??x?(x?1)3?x?2x?2，若关于x的方程f(x)?k有两个不同的实
根，则实数k的取值范围是________. (答案：（0,1）) ②为了得到函数y?lgx?3的图像，只需把函数y?lgx的图像上所有的（ ）（答案：C） 10A．向左移3个单位，向上平移1个单位 B．向右移3个单位，向上平移1个单位 C．向左移3个单位，向下平移1个单位 D．向右移3个单位，向下平移1个单位
0?a?1） ③直线y?a与曲线y?|x2?2x|有四个交点，则a的取值范围是 （答案：
5．函数定义域，恒成立
(1)求定义域——使函数解析式有意义(如：分母、偶次根式被开方数、对数真数、底数、零指数幂的底数、实际问题有意义)
ln（－x＋2x＋3）0
①函数f(x)＝＋x的定义域为( ) (答案：C)
1－xA.(－1，1)
B.[－1，1) C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(0，3)
2
②函数f(x)?1?2log2x的定义域为 ．（答案：（0，2]） ③函数f(x)?ln(8?x)2x?4（2，8）的定义域是＿＿（答案：）
(2)恒成立问题：分离参数法求最值、分类讨论。策略：优先考虑分离参数法。在分离参数法无法解答时，就考虑建立辅助函数讨论。
或a?f(x)上限。 a?f(x)恒成立?a?f(x)max；a?f(x)恒成立?a?f(x)max a?f(x)恒成立?a?f(x)min；a?f(x)恒成立?a?f(x)min或a?f(x)下限。 （注意“=”的取舍）
2如①若1?x?3时，不等式x?ax?1?0恒成立，则a的范围是_______
x2?1(先分离为a?恒成立, 答案:a?2)
x22②若1?x?3时，不等式x?ax?a?0恒成立，则a的范围是_______
(不能分离就直接讨论对称轴,求二次函数的最值, 答案:6.函数的零点
?1?5?1?5) ?a?22 7
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（1）函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点。函数的零点不是点是方程f(x)=0的。
(2)零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)=0. 说明：①函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根；②若函数在(a，b)上有零点，不一定有f(a)f(b)<0. f(a)f(b)<0是 区间(a，b)上存在零点的充分条件，而不是必要条件．③相邻两个零点之间的所有函数值保持同号
如①.已知函数f(x)?x2?x?a在区间（0，1）上有零点，则a的取值范围__. (答：（-2，0））
②函数f(x)?2?x?2在区间（0，1）内的零点个数是______(答案：1）
1
③函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是( )
x3xA．(0,1] B．(1,10] C．(10,100] D．(100，＋∞) 7．（1）导数的意义: ①函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应切线方程为：
y?y0?f?(x0)(x?x0).
曲线y＝f(x)“在点P (x0,y0)处的切线”与“过点P (x0,y0)的切线”的区别与联系 曲线y＝f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点，切线唯一，当f?(x0)存在时，切线的斜率 k＝f′(x0)．曲线y＝f(x)过点P(x0,y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
如：①(2014·新课标全国Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( ) (答案：D) A.0
B.1
C.2
D.3
2
②(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________. (答案：8)
③ (2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________. (答案：1)
②导数的物理意义:V＝s(t)表示t时刻即时速度
2如：①一物体的运动方程是s?1?t?t，其中s的单位是米，那么物体在t?3t的单位是秒，
/
3
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时的瞬时速度为_____（答案：5米/秒） （2）．几种常见函数的导数
① C??0（C为常数）. ②(xn)'?nxn?1(n?Q)（*）.③ (sinx)??cosx（*）.. ④ (cosx)???sinx（*）. ⑤ (lnx)??11ex（*）.；(loga)??loga. ⑥(ex)??ex（*）;
xx(ax)??axlna.⑦()???（3）．导数的运算法则
1x1??1 ；(x)x22x u'u'v?uv'(v?0). ①(u?v)?u?v.②(uv)?uv?uv.③()?vv2''''''（4）．复合函数的求导法则 （只需掌握形如y?f（ax?b）的复合函数求导） 设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导， 且f′(x)＝ f′(u)·v′(x) 即y′x＝y/x?y'u.u'x 如①函数f(x)?ln(2x?1)?x的极值点是______ (答案：x?（5）．导数应用
①研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f(x)>0得增区间;解不等式f(x)<0得减区间。（注意f(x)=0的点）。 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．
②求极值、最值步骤:求导数;求f?(x)?0的根;检验f?(x)在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. （说明：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，如函数y＝x在x＝0处有y′|x0＝0＝0，但x＝0不是极值点，此外不可导的点也可能是函数的极值点．）
如：①函数f(x)＝x－2ln x的单调递减区间是( ) (答案：(0，1) )
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③函数单调性的应用问题
(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立； (2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立； 如：①(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) （答案：D）
A.(－∞，－2] B.(－∞，－1] C.[2，＋∞) D.[1，＋∞)
② (2015·全国Ⅱ卷)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( ) (答案：A) A.(－∞，－1)∪(0，1) C.(－∞，－1)∪(－1，0)
B.(－1，0)∪(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)
【5月24日两节正课复习三角函数、解三角形、平面向量】
三.三角函数、解三角形、平面向量
1.特殊角的三角函数值：
22.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3
22如：已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积（答案：2cm） 3.三角函数定义及同角基本关系：平方关系：sin22??cos2??1,商数关系：tan??sin?. cos?一般采用“切化弦”，但已知一个角的正切值，求正弦与余弦有关的代数式常采用“弦化切”。 如：①已知tan???125若?为第二象限角，则cos?? （答案：?） 25②已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y?2x上， 则cos2?=( ) (答案：B)
3344 B. ? C. D.
5555513sin??3cos?2③已知tan???1，则＝ ；sin??sin?cos??2＝_ （?；）
35sin??cos?tan??1A. ?4.诱导公式简记：奇变偶不变，符号看象限（?看作第一象限）
????3??????3??sin??x??cosx,sin??x???cosx,cos??x???sinx,cos??x??sinx,?2??2??2??2? sin???x??sinx,sin???x???sinx,cos???x???cosx,tan???x??tanx
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?ABC中要注意：sinA?sin?B?C?,CosB??cos?A?C?,tanC??tan?A?B?sinAB?CBA?C??Cos,Cos?sin,锐角?ABC中，A＋B??sinA?cosB,22222 熟记关系式：sin?x?????????????????；?cos?x?cosx?cosx??sin?x?????????
4?4444?????????个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析2①函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移
式为（ ）A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx (答案:A) ②y?sin?x在(???3,)上单调递增，求?的最大值 （答案：）
243sin?sin?
C?????,cos??????cos?cos?5.两角和公式：S?????,sin??????sin?cos??cos?sin?tan??tan?1tan?tan?T?????,tan??????第三个式子的??的值使等式两边有意义注意公式的变形应用如：
tan??tan??tan??????1tan?tan??
①(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) (答案: D) A.－
3 2
B.3 2
1C.－
2
1 D. 2
②(2014·课标全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________.(答案:1.提示：sin(x＋2φ)＝sin [(x＋φ)＋φ]) ③(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) .（答案：D） A.－1
B.0
C.1
D.2
（提示：原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2） 132tan 14°
④(2016·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝2
221－tan14°则有( ) （答案：D） A.a＜c＜b
B.a＜b＜c
C.b＜c＜a
D.c＜a＜b
1－cos 50°
，2
（提示：a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°） 6.二倍角的正弦、余弦、正切
11
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二倍角公式： sin2??2sin?cos??2222sin?cos?2tan??（弦化切）
sin2??cos2?1?tan2?2cos2??sin2?1?tan2?? cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??
sin2??cos2?1?tan2? tan2??2tan? 。
1?tan2?如①(2016·山东卷)函数f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)的最小正周期是 π3πA. B.π C. 22②若sin( D.2π （答案：B）
?73??)?，则cos2??_________ （答案：?）
25257.凑角的思想：如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，
2??(???)?(???)，????2?如：①已知tan(???)????，???22?????2?????等
?2?32?1?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____（答案：）；
225444cos??②已知?,?为锐角，
134?66cos(???)??，，则s(答案：) ni?的值为____ 5525,?③（浙江理6）若0????2??1??3???0，cos(??)?,cos(?)?，则243423cos(??A．
?2)?（ ） (答案: C)
C．
33 B．?
33536 D．? 998.辅助角公式：asinx?bcosx?a2?b2sin?x???(其中tan??b) a如：①当函数y?cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答案：?3)； ②已知函数f(x)?sin(x?7?3?)?cos(x?)(x?R)则f(x)的最小正周期和最小值分别44是______和______ (答案:化简解析式为f(x)?2sin(x??4),2?, -2 )
9.三角函数的性质：y?sinx，y?cosx，y?tanx的图像，定义域，值域，增区间，减区间，奇偶性，对称性（对称轴，对称中心），最值（最大值，最小值），周期性 ??x??)?b（??0,A?0） 10.关于函数y=Asin( 12
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①周期T=
2??k?z， 。②对称轴：令wx????k?，解得x。③对称中心：令wx???k?，
w2?3?k?z，解得x，对称中心为点（x，b）,2?。 。④五点法作图：令wx???，0,,?,221伸长或缩短倍w11.图像的平移伸缩变化： (1)
y?sinx????????y?sin(x??)??????y?sin(wx??)????????y?Asin(wx??)????????y?Asin(wx??)?B（2）
纵坐标伸长或缩短A倍向上或向下平移B个单位?个单位w向左或向右平移?个单位
y?sinx??????y?sinwx?????????y?sin(wx??)????????y?Asin(wx??)????????y?Asin(wx??)?B纵坐标伸长或缩短A倍向上或向下平移B个单位1伸长或缩短倍w向左或向右平移
π
如: ①(2014·福建卷)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图
2象，则下列说法正确的是( ) （答案：D）
A.y＝f(x)是奇函数 B.y＝f(x)的周期为π
π?π?C.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 D.y＝f(x)的图象关于点?－，0?对称 2?2?②将函数y?sinx的图像上所有的点向右平行移动
?个单位长度，再把所得各点的横坐标10伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是( )（答案：Ｃ）
A.y?sin(2x?1?1??) B.y?sin(2x?) C.y?sin(x?) D.y?sin(x?)
210 22010 5?③函数y?2cosx(sinx?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是________、_______
k??k???,1)(k?Z)、x??(k?Z)）； 282853(x?R)的单调递增区间为___________ ④函数f(x)?5sinxcosx?53cos2x?2?5?,k??](k?Z)） （答：[k??1212（答：(12.正弦定理:
a?b?cabc
====2R(R为?ABC外接圆半径) sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC111S?absinC?bcsinA?casinB=abc?1r(a?b?c)(其中r为内切圆半径) 2224R2?ABC中：A?B?a?b?sinA?sinB?cosA?cosB
13
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若sin2A?sin2B,则A?B或A?B??2 ， 若cos2A?cos2B,则A?B
如：①在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则
AC
的值等于 （答案：2） cosA
②一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) （答案:A） A.102海里 B.103海里 C.203海里 D.202海里
解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠
ACB＝45°，根据正弦定理得
里).
＝，解得BC＝102(海
sin 30°sin 45°
BCAB③在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA25，AB?AC?3． ?25（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，求a的值．（答案：2，25）
?b2?c2?a2cosA??2bc?a2?b2?c2?2bccosA,??2a2?c2?b2?2213.余弦定理：?b?a?c?2accosB,?cosB?
2ac?c2?a2?b2?2abcosC???a2?b2?c2?cosC?2ab?①(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝(a－b)＋6，
2
2
C＝，则△ABC的面积是( ) (答案:C)
A.3
B.93
2
C.33
2
D.33
π3
sin 2A②(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
sin Cb2＋c2－a225＋36－1637a2＋b2－c216＋25－36
解析 cos A＝＝＝，∴sin A＝， cos C＝＝2bc2×5×6442ab2×4×5
37
2××44137sin 2A＝，∴sin C＝，∴＝＝1.(答案: 1) 88sin C37
814.与三角形有关的常见结论
111
(1)面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝casin B.(2)三个等价关系：△ABC中，a，b，c222
14
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分别为A，B，C对边，则a＞b?sin A＞sin B?A＞B 1
如①(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝2，则AC等于( )
2(答案:B) (提示：求出B＝A.5
π3π
或后，注意钝角△ABC)44
C.2
D.1
B.5
②(2015·全国Ⅱ卷)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.
sin B(1)求；
sin C(2)若AD＝1，DC＝2
，求BD和AC的长. 2
11
解 (1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.
22因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理可得 sin BAC1
＝＝. sin CAB2
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中， AB＝AD＋BD－2AD·BDcos∠ADB， AC＝AD＋DC－2AD·DCcos∠ADC.
故AB＋2AC＝3AD＋BD＋2DC＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
15. 向量加减法运算及表示： 加减法运算有作图运算以及直接向量化简运算
→→
如：①(2015·全国Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) （答案：A） 1→4→→→1→4→→4→1→→4→1→
A.AD＝－AB＋AC B.AD＝AB－AC C.AD＝AB＋AC D.AD＝AB－AC
333333331→4→→→→→1→→1→1→
（解析：AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝－AB＋AC.）
33333
→
②在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO＝→→
λAB＋μBC，则λ＋μ等于( ) （答案：D） A.1
1B. 2
1C. 3
2 D. 3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→→→→1→→→1→→1→1→
（解析：∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，∴2AO＝AB＋BC，即AO＝AB＋BC.
3326112
故λ＋μ＝＋＝.）
263
16.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
15
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①a?b?a?b?0；②当a，特别地，b同向时，a?b＝ab，a?a?a?a,a?22 a；2 b不同向，a?b?0是?当a与b反向时，a?b＝－ab；当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角为锐角的必要非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、的必要非充分条件； ③|a?b|?|a||b|。④平面向量的坐标表示 已知a?(x1y1)
??b?(x2,y2)则a?x?y a?b?x1x2?y1y2⑤两个重要结论
?2121???a//b?有且只有唯一实数?使得a??b(b?0) ?x1y2?x2y1 a?b?a?b?0 ?x1x2?y1y2?0
???????????如①已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是 .（答：?????14或??0且??）；
33②边长为2的等边?ABC中，AB?BC?_______. （注意夹角，答案：?2） ③a?(1,0),b?(1,1),(a??b)?b,则??____（答案：?17.向量b在a方向上的投影为︱b︱cos?＝a?ba?????1） 2
如：如已知a?(?2,1),b?(3,?4)，则a在b方向上的投影为_______(答案:-2) 18.基本定理:e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一) 特别：OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件
如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??????????1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是____（答：直线AB）
19.三角形的重心,垂心,内心,外心的向量表示 在?ABC中，
①PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为
??????3?ABC的重心；②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；
③向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(?BAC的角平分线所在直线)；
|AB||AC| 16
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如：①若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的 形状为____（答：直角三角形）；
120）②若点O是△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为 . (答案：
【5月25日复习数列 、不等式】
四、 数列 、不等式
1.用等差，等比数列的基本公式解决基本问题（始终抓住a1,d或q列方程或者方程组解决，知三求二）等差数列中an=a1+(n-1)，an=am+(n-m)d；d=
an?am(n?m)
n?mSn=na1?n(n?1)n-1
d=n(a1?an)，等比数列中an= a1 q， （注意： an?0,q?0）an?amqn?m，22a1(1?qn)a1?anq=（注意求和时对q是否等于1的判断与讨论） 1?q1?q当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=
如①设Sn为等比数列?an?的前n项和，8a2?a5?0，则A．11 B. 5 C. ?8 D. ?11
S5?（ ） （答案：D） S2②设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( ) （答案：A） A.－6
B.－4
C.－2
D.2
③(2014·江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时
Sn取得最大值，则d的取值范围为________.(答案: ?－1，－?)
8
??
7??
解析 由题意知d＜0且?
?a8＞0，?
?7＋7d＞0，?7
即?解得－1＜d＜－. 8??a9＜0，??7＋8d＜0，
2．基本性质：等差数列中, 数列?an?是等差数列，Sn是其前n项和，则 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd ； (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．等比数列中， 当m+n=p+q ，aman?apaq
如:①若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这
17
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个数列的项数为( ) (答案:A) A.13
B.12
C.11
D.10
②已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 016等于
2 0142 008________.(答案:2 016)
解析①因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146， a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝
S2 014S2 008
n（a1＋an）n·60
2
＝2
＝390，即n＝13.
?Sn?
②由等差数列的性质可得??也为等差数列.设其公差为d.则－＝6d＝6，∴d＝
2 0142 008?n?1.故＝＋2 015d＝－2 014＋2 015＝1，∴S2 016＝1×2 016＝2 016.
2 0161③等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn,Tn，若3．等差、等比数列的判定或者证明
S2 014S2 008
S2 016S1
Sn3n?1a910则??_____（)
7Tn2n?1b9｛an｝等差?an（1）?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*)
｛an｝等比?an（2）?an?1?q(常数)?an?an?1?an?1(n?2,n?N*)
2如：①若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1） 4．涉及到数列中的最大项,可以先考察它的单调性,即看an?1?an的符号 如数列{an}的通项公式为an?n2??n,若该数列递增,则?的范围是____ (答案：???3)
5．求和：（裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.） （1）裂项相消：1?11111?11111???（?） ； ；＝?－?.
nn＋kk?nn＋k?n(n?1)nn+1n(n?2)2nn+21?1?11?111?1
－－＝.；＝????.
n2－12?n－1n＋1?4n2－12?2n－12n＋1?如：已知等差数列{an}前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{1}前100项和为( ) anan?1A.
9910099101 B. C. D. (答案:A)
101101100100 18
回归教材本源 以不变应万变
问题推广：等差数列{an}公差为d, S=
1111+?.........?____ a1a2a2a3a3a4an?1an(2) 错位相减：重中之重，适用与差比型数列。
①已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10。 (1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{前n项和。(答案：an?2?n,Sn?an}的n?12n2n?1)
（3）分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法的几个数列的和求解。 6.求通项常法
(1)已知数列?an?的前n项和sn,求通项an，利用公式an?Sn?Sn?1必须注意这里n?2,要验证n?1满足还是不满足an ①数列{an}满足
11a1?2a2?222
?114,n?1a?2n?5，求（作差法，答案：） aa?nnn2n?1,n?22n?3?(n?1)?2②数列{an}满足a1.a2.a3……an=n+2n，求an（作商法，答案：an??n?2n
(n?2)??n2?1（2）
累加法：若an+1-an=f(n)（f(n)是易求和通项公式如等差、等比、可裂项分式等） 已知数列{an}满足a1?1/2,a 累乘法：若
n+1（3）①
?an?1/(n2?n),求an（答案：.an?3/2?1/n)
（4）
an?1?f(n)（f(n)是易求积公式如可相互约分的分式、指数式等）
an(3)
已知数列满足a1?1/2,an+1=(n/n?2)an,求an（答案：.an?1/n(n?1))
(4)构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列 如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an （答案：an?2?3n?1?1）； 7.不等式：
（1）注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，a＜b,则
11?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。 ab②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论.
19
回归教材本源 以不变应万变
如：(1)已知?1?x?y?1，则3x?y的取值范围是___（答案： 1?x?y?3，1?3x?y?7）(2)若当x??3时,不等式x2?ax?1?0恒成立,则a的范围是______ (答案：a?（2）比较大小的常用方法：
（1）作差法：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商法：作商后与1进行比较，判断符号得出结果； （3）利用函数的单调性；（4）寻找中间量,与“0”比，与“1”比
如①证明ln(x?1)?x（答案：构造函f(x)?ln(x?1)?x,然后利用单调性求最大 值小于0）
10) 3332②已知a?ln,b?()3,c?()2,则( ) (答案：B)
223A.a?b?c B. b?a?c C. b?c?a D. a?c?b ③ 已知x=lnπ，y=log52，z?e?1223，则( ) （答案：D）
A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x （3）基本不等式：若a,b?0，
a?b?ab（当且仅当a?b时取等号） ； 2a2?b2a?b222) ②a?b?2ab ab?基本变形：①a?b?2ab ab?( 22a?ba2?b2?ab?? ③a?b?c?ab?bc?ac ④ 1122?ab2222注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大.③常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数y?x?1(x?0)的最小值 ,若把x的范围改为x?3,则最小值得为____ 4x②正数x,y满足x?2y?1，则
11?的最小值为______ xy3?22；b满足ab?a?b?3，③如果正数a、则ab的取值范围是_____（答案：8 ； ?9,???）
（4）不等式(组)表示平面区域：直线定边界，特殊点定区域 ．．．．．．．．．．．．
?x?y?3?0?如：①不等式组?x?2y?3?0表示的平面区域的面积为３，则m的值为_____（答案：1）
?x?m?②已知点(3,1)和点(?4,6)在直线3x?2y?a?0的两侧，则a的取值范围是___。
20
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