初中数学2016年中考八大题型典中典：初中数学2016年中考八大题型(3)

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

考点： 四边形综合题．.

分析： （1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．

（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出

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==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，

，∠ACE=

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∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．

（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出

，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根

据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．

（3）首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得

；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即

可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，判断出m，n，p三者之间满足的等量关系即可．

解答： （1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形， ∴

，

∴∠ACB=∠ECF=45°， ∴∠ACE=∠BCF， 在△CAE和△CBF中，

，

∴△CAE∽△CBF．

（ii）解：∵△CAE∽△CBF， ∴∠CAE=∠△CBF，又∵∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBF+∠CBE=90°， ∴∠EBF=90°， 又∵∴∴

2

2

，

，AE=2 ， ，

2

∴EF=BE+BF==3，

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∴EF=

2

，

2

∵CE=2EF=6， ∴CE=

（2）如图②，连接BF，

．

，

∵

=

=k，

∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb， ∴AC=CE=∴

=

，∠ACE=∠BCF，

， ，

在△ACE和△∠BCF中，

，

∴△ACE∽△∠BCF， ∴

又∵AE=2， ∴

，

，∠CAE=∠CBF，

∴BF=，

∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBE+∠CBF=90°， ∴∠EBF=90°，

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∴EF=BE+BF=1∵

，

222

，

∴=，CE=3，

∴EF=，

∴1，

∴，

，

解得k=±∵∴k=

=

=k＞0， ．

（3）∵∠DAB=45°， ∴∠ABC=180°﹣45°=135°， 在△ABC中，根据余弦定理，可得 AC=AB+BC﹣2AB?BC?cos135° =2=

2

2

2

在△ACE和△∠BCF中，

，

∴△ACE∽△∠BCF， ∴

又∵AE=n， ∴

，

，∠CAE=∠CBF，

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∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°， ∴∠CBE+∠CBF=90°， ∴∠EBF=90°， ∴EF=BE+BF， ∴∴（2

2

2

2

2

2

2

，

）m+n=p，

）m+n=p．

2

2

2

即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2

点评： （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．212cn2jy2com

（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． （4）此题还考查了余弦定理的应用，要熟练掌握．

类型4：数形结合思想

数形结合的思想解题主要分为两类，一是利用几何图形的直观或者有关性质来问题，解决数量关系和表示数的问题；二是运用数量关系来研究几何图形常常需要建立方程（组）或函数关系式等。www-2-1-cnjy-com

【例题】（2015?甘肃庆阳，第20题，3分）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）21*cnjy*com

考点： 平面展开-最短路径问题．

分析： 根据绕两圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可．

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解答： 解：如图所示， ∵无弹性的丝带从A至C， ∴展开后AB=2πcm，BC=3cm， 由勾股定理得：AC=故答案为：

．

=

cm．

点评： 本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．21教育网

【变式练习】

（2015?江苏南通，第24题8分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°． （1）求∠P的度数；

（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．

考点： 切线的性质；扇形面积的计算．.

分析： （1）由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数． （2）由S阴影=23（S△PAO﹣S扇形）则可求得结果．

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