【课题】 3.1 排列与组合(二)
【教学目标】
知识目标:
理解组合的定义,掌握组合数的计算公式. 能力目标:
学生的数学计算技能、计算工具使用技能和数学思维能力得到提高.
【教学重点】
组合数计算公式.
【教学难点】
组合数计算公式.
【教学设计】
组合与排列的区别是,组合与顺序无关.因此判断是排列问题还是组合问题的关键是看元素是否有序.从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,用符号Cmn表示.组合数的计算公式及组合数的性质中,教学重点是组合数计算公式和性质1.利用它们可以方便地计算组合数.例5是组合数计算问题.例6 是组合的实际应用.与排列数的计算一样,教材介绍了利用计算器计算组合数.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教 学 过 程 *揭示课题 3.1 排列与组合. 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 了解 0 *创设情境 兴趣导入 在北京、重庆、上海3个民航站的直达航线之间,有多少 种不同的飞机票价(假设两地之间的往返票价和舱位票价是相 同的): 飞机票的价格有如下三种: 北京——重庆(重庆——北京) 北京——上海(上海——北京) 重庆——上海(上海——重庆) 这个问题,是从3个不同的元素中任取2个,不管是怎样 教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 观看 课件 思考 引导 启发学生得出结果 15 播放 的顺序总认为是一组,求一共有多少个不同的组. 一般地,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同元课件 素,组成一组,叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个质疑 组合. 三地之间不同的飞机票价种数,就是从3个不同元素中,取出2个不同元素的所有组合的个数. 【注意】: 组合问题与排列问题的区别是:从n个不同元素取m(m≤n)个元素的一个组合,与m个元素排列的顺序无关,而从n个不同元素中取m(m≤n)个元素的一个排列,与m个元素的排列顺序有关. *动脑思考 探索新知 一般地,从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所 有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组 合数,用符号Cmn表示. 3下面我们通过研究计算C4的方法来研究组合数的计算公 式. 3我们用两种不同的方法来计算P4. 3方法1: P4=4×3×2. 方法2:从4个不同元素中取3个不同元素的一个排列, 可以分两步完成. 3第一步,从4个不同元素中取3个元素组成一组,有C4种 取法; 第二步,对每一组中的3个不同元素进行全排列. 根据分步计数原理,得 33 P4?C43!, 3P 3 所以 C4?4. 3!类似地,可以得到组合数的计算公式. 一般地,求从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的组合数为 总结 归纳 思考 引导学生发现解决问题方法 mPnn(n?1)(n?2)...(n?m?1) Cm?? (3.7)nmPmm! 教 学 过 程 n!mmmm,由于 Pn? Pn?CnPm, (n?m)!故组合数公式还可以写作 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 关键 词语 理解 记忆 35 Cmn?n! (3.8) m!(n?m)!*其中n,m?N,并且m≤n. 可以证明,组合数具有如下性质(证明略): mn?m性质1 Cn?Cn (m≤n). 利用这个性质,当m>到Cn的值,如 C1820mnn?m时,通过计算Cn可以简单得2?C20?182020?19 ?C??190.2!220mmm?1性质2 Cn?1?Cn?Cn(m≤n). 性质2反映出组合数公式中的m与n之间存在的联系. *巩固知识 典型例题 例5 计算C7、C4和C5. 解 C7?C7?4443340 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 P7?6?5?=35; 3!3!37 C4?4P?????????1; 4!4!5!5!??1. 0!(5?0)!5! C5?0,C0.说明 一般地,可以得到Cn n?1n?1例6 圆周上有10个点,以任意三点为顶点画圆内接三角形,一共可以画多少个? 分析 只要选出三个点三角形就唯一确定,与三个点的排列顺序无关,所以是计算从10个不同元素中取3个元素的组合数问题. 解 可以画出的圆内接三角形的个数为
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