试题 在△ABC的两边AB,AC上向形外作正方形ABEF,ACGH,过点A作BC的垂线分别交BC于点D,交FH于点M,求证:FM=MH.
错解
证明:如图,∵四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形,∴AF=AB,AH=AC.又∵∠FAH=∠BAC,∴△AFH≌△ABC,∴∠5=∠2.∵∠3+∠1=90°,∠3+∠2=90°,∴∠1=∠2,∴∠1=∠5.∵∠1=∠4,∴∠4=∠5.∴AM=FM.同理,AM=MH,故FM=MH.
剖析 上述解法错在将∠BAC画成了直角(题中没有这个条件),从而导致∠FAH,∠BAC和∠1,∠4分别成为对顶角,不认真画图,匆匆忙忙进行推理,就很容易犯错误.
正解
证明:分别过F,H画FK⊥MD,HL⊥MD,垂足为K,L.∵四边形ACGH是正方形,∴AC=AH,∠CAH=90°,∴∠1+∠2=90°,∵AD⊥BC,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∵∠HLA=∠ADC=90°,∴△AHL≌△CAD,∴HL=AD.同理:△AFK≌△BAD,∴FK=AD,∴FK=HL.又∵∠FMK=∠HML,∠FKM=∠HLM=90°,∴△FMK≌△HML,∴FM=MH.
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