?ππππ?
∈Z,因为-2<φ<2,所以φ=-3,即f(x)=2sin?2x-?,向左
3?????ππ?π?π?
平移4后得g(x)=2sin?2?x+?-?=2cos?2x-?,对称轴方程为
3?4?3????
πkπππ
2x-3=kπ,k∈Z,故x=2+6,当k=-1时,x=-3,故选D.
答案:D
π
9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)-3sin(ωx+φ)(ω>1,|φ|<2),且其π
图象相邻的两条对称轴为x1=0,x2=2,则( )
?π?
A.y=f(x)的最小正周期为π,且在?0,?上为增函数
2???π?
B.y=f(x)的最小正周期为π,且在?0,?上为减函数
2??
C.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数
?π?Tπ
解析:由已知条件得f(x)=2cos?ωx+φ+?,由题意得2=2,
3???2ππ?
∴T=π.∴T=,∴ω=2.又∵f(0)=2cos?φ+?,x=0为f(x)的
3?ω?
ππ
对称轴,∴f(0)=2或-2,又∵|φ|<2,∴φ=-3,此时f(x)=2cos2x,
?π?
在?0,?上为减函数,故选B.
2??
答案:B
?π?
10.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f(x)≥f??恒成立,
?8?
则f(x)的一个单调递减区间是( )
?3π?A.?-π,?
8??8?π5?
C.?,π? ?88?
?π3?B.?-,π? ?88??π9?D.?,π? ?88?
?π??π??π??????解析:由题意得f=-2,即-2sin+φ=-2,sin+φ?=?8??4??4?
π
1.因为|φ|<π,所以φ=4,故f(x)=
?πππ3ππ?
-2sin?2x+?,由2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,得kπ-8≤
4???ππ?3
x≤kπ+8,所以f(x)的单调递减区间是?kπ-π,kπ+?(k∈Z),
88??
故A正确.
答案:A
二、填空题(每小题4分,共16分)
?π?
11.函数y=tan?2x+?的对称中心为________.
6??
?kπ?π
解析:∵y=tanx(x≠2+kπ,k∈Z)的对称中心为?,0?(k∈Z),
?2?
πkππkπ
∴可令2x+6=2(k∈Z),解得x=-12+4(k∈Z).
??πkπ?π????因此,函数y=tan2x+的对称中心为-+,0?(k∈Z).
6?4??12??πkπ?
答案:?-+,0?(k∈Z)
4?12?
?cos2απ?1
12.已知sinα=2+cosα,且α∈?0,?,则?的值为?2π??
sin?α-?4??
________.
1
解析:依题意得sinα-cosα=2,
又(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,
?1?2
所以(sinα+cosα)+?2?=2,
??
2
7
故(sinα+cosα)=4.
2
?π?7又α∈?0,?,因此有sinα+cosα=2,
2??
cos2αcos2α-sin2α所以?==-2(sinα+cosα)=
π?2
sin?α-?(sinα-cosα)
4?2?14
-2.
14
答案:-2 2
13.在△ABC中,sinA+cosA=2,AC=4,AB=5,则△ABC的面积是________.
解析:根据题意,由于△ABC中,
??ππ?π?122
sinA+cosA=2?2sin?A+?=2?sin?A+?=2?A+4=
4?4???
5π7π
6,所以A=12.
7π52+561
△ABC的面积为S=2×4×5×sin12=. 252+56答案: 2
?π??ππ?
14.f(x)=2sin?+x?-3cos2x-1,x∈?,?,则f(x)的最
2??4??4
2
小值为________.
?π?
解析:f(x)=2sin?+x?-3cos2x-1
?4?
2
?π??π?
=1-cos2?+x?-3cos2x-1=-cos?+2x?-3cos2x=
?4??2??πππππ?
sin2x-3cos2x=2sin?2x-?,因为4≤x≤2,所以6≤2x-3≤
3????2ππ?π?1
????3,所以2≤sin?2x-3?≤1,所以1≤2sin?2x-3?≤2,即1≤f(x)
≤2,所以f(x)的最小值为1.
答案:1
三、解答题(共5小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)
?π??15.(8分)已知函数f(x)=2cosx-?,x∈R.
12???π?
(1)求f??的值;
?3?
?3π??π?3
(2)若cosθ=5,θ∈?,2π?,求f?θ-?.
6??2???π??ππ?π
解:(1)f??=2cos?-?=2cos4=1.
?3??312??3π?3
??, (2)∵cosθ=5,θ∈,2π?2?
4
∴sinθ=-1-cosθ=-5,
2??π?π?∴f?θ-?=2cos?θ-?
6?4???
?ππ?1
=2?cosθcos+sinθsin?=-5.
44??
16.(9分)已知函数f(x)=cosx(3sinx+cosx),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期及值域. (2)求f(x)的单调递增区间.
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