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第3章单元质量检测

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?ππππ?

∈Z,因为-2<φ<2,所以φ=-3,即f(x)=2sin?2x-?,向左

3?????ππ?π?π?

平移4后得g(x)=2sin?2?x+?-?=2cos?2x-?,对称轴方程为

3?4?3????

πkπππ

2x-3=kπ,k∈Z,故x=2+6,当k=-1时,x=-3,故选D.

答案:D

π

9.设函数f(x)=cos(ωx+φ)-3sin(ωx+φ)(ω>1,|φ|<2),且其π

图象相邻的两条对称轴为x1=0,x2=2,则( )

?π?

A.y=f(x)的最小正周期为π,且在?0,?上为增函数

2???π?

B.y=f(x)的最小正周期为π,且在?0,?上为减函数

2??

C.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为增函数 D.y=f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为减函数

?π?Tπ

解析:由已知条件得f(x)=2cos?ωx+φ+?,由题意得2=2,

3???2ππ?

∴T=π.∴T=,∴ω=2.又∵f(0)=2cos?φ+?,x=0为f(x)的

3?ω?

ππ

对称轴,∴f(0)=2或-2,又∵|φ|<2,∴φ=-3,此时f(x)=2cos2x,

?π?

在?0,?上为减函数,故选B.

2??

答案:B

?π?

10.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若f(x)≥f??恒成立,

?8?

则f(x)的一个单调递减区间是( )

?3π?A.?-π,?

8??8?π5?

C.?,π? ?88?

?π3?B.?-,π? ?88??π9?D.?,π? ?88?

?π??π??π??????解析:由题意得f=-2,即-2sin+φ=-2,sin+φ?=?8??4??4?

π

1.因为|φ|<π,所以φ=4,故f(x)=

?πππ3ππ?

-2sin?2x+?,由2kπ-2≤2x+4≤2kπ+2,得kπ-8≤

4???ππ?3

x≤kπ+8,所以f(x)的单调递减区间是?kπ-π,kπ+?(k∈Z),

88??

故A正确.

答案:A

二、填空题(每小题4分,共16分)

?π?

11.函数y=tan?2x+?的对称中心为________.

6??

?kπ?π

解析:∵y=tanx(x≠2+kπ,k∈Z)的对称中心为?,0?(k∈Z),

?2?

πkππkπ

∴可令2x+6=2(k∈Z),解得x=-12+4(k∈Z).

??πkπ?π????因此,函数y=tan2x+的对称中心为-+,0?(k∈Z).

6?4??12??πkπ?

答案:?-+,0?(k∈Z)

4?12?

?cos2απ?1

12.已知sinα=2+cosα,且α∈?0,?,则?的值为?2π??

sin?α-?4??

________.

1

解析:依题意得sinα-cosα=2,

又(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2,

?1?2

所以(sinα+cosα)+?2?=2,

??

2

7

故(sinα+cosα)=4.

2

?π?7又α∈?0,?,因此有sinα+cosα=2,

2??

cos2αcos2α-sin2α所以?==-2(sinα+cosα)=

π?2

sin?α-?(sinα-cosα)

4?2?14

-2.

14

答案:-2 2

13.在△ABC中,sinA+cosA=2,AC=4,AB=5,则△ABC的面积是________.

解析:根据题意,由于△ABC中,

??ππ?π?122

sinA+cosA=2?2sin?A+?=2?sin?A+?=2?A+4=

4?4???

5π7π

6,所以A=12.

7π52+561

△ABC的面积为S=2×4×5×sin12=. 252+56答案: 2

?π??ππ?

14.f(x)=2sin?+x?-3cos2x-1,x∈?,?,则f(x)的最

2??4??4

2

小值为________.

?π?

解析:f(x)=2sin?+x?-3cos2x-1

?4?

2

?π??π?

=1-cos2?+x?-3cos2x-1=-cos?+2x?-3cos2x=

?4??2??πππππ?

sin2x-3cos2x=2sin?2x-?,因为4≤x≤2,所以6≤2x-3≤

3????2ππ?π?1

????3,所以2≤sin?2x-3?≤1,所以1≤2sin?2x-3?≤2,即1≤f(x)

≤2,所以f(x)的最小值为1.

答案:1

三、解答题(共5小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)

?π??15.(8分)已知函数f(x)=2cosx-?,x∈R.

12???π?

(1)求f??的值;

?3?

?3π??π?3

(2)若cosθ=5,θ∈?,2π?,求f?θ-?.

6??2???π??ππ?π

解:(1)f??=2cos?-?=2cos4=1.

?3??312??3π?3

??, (2)∵cosθ=5,θ∈,2π?2?

4

∴sinθ=-1-cosθ=-5,

2??π?π?∴f?θ-?=2cos?θ-?

6?4???

?ππ?1

=2?cosθcos+sinθsin?=-5.

44??

16.(9分)已知函数f(x)=cosx(3sinx+cosx),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期及值域. (2)求f(x)的单调递增区间.

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