大学物理（第四版）课后习题及答案 - 电介质

电解质

题8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径R1 = 5.0?10?4 m的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径R2?4.5?10?3m的同轴圆筒形阳极。阳极电势比阴极电势高300 V，阴极与阳极的长度均为L = 2.5?10?2 m。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：（1）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（2）电子刚从阳极射出时所受的力。 题8.1分析：（1）由于半径R1??L，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性。从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。由此，可求得电子到达阳极时的动能和速率。

（2）计算阳极表面附近的电场强度，由F?qE求出电子在阴极表面所受的电场力。 解：（1）电子到达阳极时，势能的减少量为

?Eep??eV??4.8?10?17J

由于电子的初始速度为零，故 Eek??Eek???Eep?4.8?10?17J

因此电子到达阳极的速率为

v?2Eek?m2eV?1.03?107m?s?1 m（2）两极间的电场强度为

?E??er

2??0r两极间的电势差

V??R2R1E?dr???R1R2R??dr??ln2 2??0r2??0R1负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度

E???er?2??0R1VRR1ln2R1er

电子在阴极表面受力

F??eE?4.37?10?14erN

－

这个力尽管很小，但作用在质量为9.11?1031 kg的电子上，电子获得的加速度可达重力加

速度的5?1015倍。 题8.2：一导体球半径为R1，外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V0。求此系统的电势和电场的分布。

题8.2分析：不失一般情况，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。并由vP??pE?dl或电势叠加求

Q、R1、R2表示。 出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量V0、?题8.2解：根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称。取同心球面为高斯面，由高斯定理?E?dS?E?r??4?r2??q?0，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域

内的电场分布为

r?R1时， E1?r??0

R1?r?R2时，E2?r??r?R2时，E2?r??q4??0r2

Q?q 4??0r2由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。r

?R1R2?qQ V1??E?dl??E1?dl??E2?dl??E3?dl??rrR1R24??0R14??0R2R1?r?R2时，V2??E?dl??r?R2rE2?dl??E3?dl?R2?q4??0r?Q4??0R2

r?R2时，V3??E3?dl?r?Q?q 4??0r也可以从球面电势的叠加求电势的分布。在导体球内（r

V1?q4??0R1q4??0r?Q4??0R2Q4??0R2

在导体球和球壳之间（R1

V2??

在球壳外（r>R2）

V3?Q?q 4??0rq4??0R1Q4??0R2 由题意

V1?V0??

得 q?4??0R1V0?R1Q R2代人电场、电势的分布得

r?R1时，E1?0;V1?V0

R1?r?R2时，E2?r?R2时，E3?R1V0R1V0?r?R1?QR1Q?；V?? 2r4??0R2rr24??0R2r2R1V0?R2?R1?QRV?R?R1?Q?；V3?10?2 22r4??0R2rr4??0R2r题8.3：在一半径为R1 =6.0 cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳B的内、外半径分别为R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。设球A带有总电荷QA?3.0?10?8C，球壳B带有总电荷QB?2.0?10?8C。（l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、外表面上所

带的电荷以及球A和球壳B的电势。 题8.3分析：（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A表面，球壳B内表面带电荷?QA，外表面带电荷QB?QA，电荷在导体表面均匀分布，

由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。

（2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B接地后，外表面的电荷从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电?QA。

断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应?qA，外表面带电qA?QA。此时球A的电势可表示为

VA?qA4??0R1??qAq?QA?A

4??0R24??0R3由VA?0可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电势。

解：（1）由分析可知，球A的外表面带电3.0?10?8C，球壳 B内表面带电?3.0?10?8C，外表面带电5.0?10?8C。由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为 VA?VB?QA4??0R1??QAQ?QB?A?5.6?103V

4??0R24??0R3QA?QB?4.5?103V

4??0R3（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为

VA?VB?qA4??0R1??qA?QA?qA??0

4??0R24??0R3?QA?qA

4??0R3R1R2Q?2.12?10?8C

R1R2?R2R3?R1R3解得qA?即球A外表面带电2.12?10?8C，由分析可推得球壳B内表面带电?2.12?10?8C，外表面带电?0.9?10?8C。另外球A和球壳B的电势分别为

VA?0

VB??7.92?102V

导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。

题8.4：地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球－电离层系统的电容。设地球与电离层之间为真空。

题8.4解：由于地球半径R1?6.37?106m；电离层半径R2?1.00?105m?R1?6.47?106m，根据球形电容器的电容公式，可得

C?4??0R1R2?4.58?10?2F

R2?R1题8.5：两线输电线，其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.5 m，线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容 题8.5解：两输电线的电势差

?d?RU?ln

??0R因此，输电线单位长度的电容 C??U???0/lnd?Rd???0/ln RR代人数据

C?4.86?10?12F

题8.6：由两块相距0.50 mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K

内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25 mm，金属板面积为30mm?40mm求：（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相碰，问此时的电容又为原来的几倍。

题8.6分析：薄金属板A、B与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可求得A、B间的电容。。 解：（1）如图，由等效电路可知 C?C23?C1?C2?C3?C1

C2?C3由于电容器可视作平板电容器，且d1?2d2?2d3，故C2?C3?2C1，因此 A、B间的

总电容

C?2C1

（2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于C2（或者C3）极板短接，其电容为零，则总电容 C??3C1

题8.7：在A点和B点之间有5个电容器，其连接如图所示。（1）求A、B两点之间的等效电容；（2）若A、B之间的电势差为12 V，求UAC、UCD和UDB 。 题8.7解：（1）由电容器的串、并联，有

CAC?C1?C2?12μF CCD?C3?C4?8μF

求得等效电容CAB?4μF

（2）由于QAC?QCD?QDB?QAB，得

UAC?UCD?UDB?CABUAB?4V CACCABUAB?6V CCDCABUAB?2V CCD题8.8：盖革—米勒管可用来测量电离辐射。该管的基本结构如图所示，一半径为R1的长直导线作为一个电极，半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极。它们之间充以相对电容率?r?1的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极间有电势差时，极板间有电流，从而可测出电离粒子的数量。如以E1表示半径为R1的长直导线附近的电场强度。（1）求极板间电势的关系式；（2）若E1?2.0?106V?m?1,R1?0.30mm,R2?20.0mm，两极板间的电势差为多少？

题8.8解：（1）由上述分析，利用高斯定理可得E?2?rL?则两极板间的电场强度

?E?

2??0r导线表面（r = R1）的电场强度

?E1?

2??0R1两极板间的电势差

U??R2R11?0?L，

E?dr??R2R1R?dr?R1E1ln2 2??0rR1（2）当E1?2.0?106V?m?1,R1?0.30mm,R2?20.0mm时，

U?2.52?103V

题8.9：一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm2，厚度为0.10 mm。 把平行平板电容器的两

级板紧贴在晶片两侧。（1）求电容器的电容；（2）当在电容器的两板上加上12 V电压时，极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度. 题8.9解：（1）查表可知二氧化钛的相对电容率?r?173，故充满此介质的平板电容器的电容

d（2）电容器加上U?12V的电压时，极板上的电荷

Q?CU?1.84?10?8C

C??r?0S?1.53?10?9F

极板上自由电荷面密度为

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