大学物理（第四版）课后习题及答案 - 电介质 (3)

荷Q2，在导体达到静电平衡时，导体极板为等势体， 故有

2Q2d?2Q1d????0?r1S?0?r2S ?Q?Q?Q2?1解得Q1?Q2?U??r1Q

?r1??r2?r2Q

?r1??r22Q1d2Qd? ?0?r1S?0S?r1??r2C?Q?0S?r1??r2 ??Ud2

题8.17：为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为?r的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体极板，d0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容C与间接测量厚度d之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？ 题8.17解：由分析可知，该装置的电容为

?0?rS C?

d??r?d0?d?则介质的厚度为

?dC??0?rS??S?r?d0?0r d?r0

??r?1?C??r?1?C?r?1 如果待测材料是金属导体，其等效电容为 ?S C?0

d0?d导体材料的厚度 d?d0??0SC

实时地测量A、B间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。

题8.18：利用电容传感器测量油料液面高度。其原理如图所示，导体圆管A与储油随B相连，圆管的内径为D，管中心同轴插入一根外径为d的导体棒C，d、D均远小于管长L并且相互绝缘。试征明：当导体团管与导体棒之间接以电压为U的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为?r）。 题8.18分析：由于d、D<

证：由分析知，导体A、C构成一组柱形电容器，它们的电容分别为

C1?2??0?rX Dlnd2??0?L?X?

DlndC2?其总电容

C?C1?C2?2??0?rX2??0?L?X??????X

DDlnlndd其中??2??0L2??0??r?1?;?? DDlnlnddQ?CU??U??UX

即导体管上所带电荷Q与液面高度X成正比，油罐与电容器联通。两液面等高，测出

电荷Q即可确定油罐的液面高度。

题8.19：有一平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 nm的聚四氯乙烯薄膜所隔开，求该电容器的额定电压。

－

题8.19解：查表可知聚四氯乙烯的击穿电场强度Eb = 1.9?107 V?m1。当电容器不被击穿时，电容器中的电场强度E?Eb。因此，由均匀电场中电势与电场强度的关系，可得电容器上最大电势差（即额定电压）为

Umax?Ebd?190V

题8.20：空气中半径分别为1.0 cm和0.10 cm的长直导线上，导体表面电荷面密度最大为多少？

题8.20解：设长直导线上单位长度所带电荷为?，则导线周围的电场强度为

??E??

2?r?0?0?。显然，在导线表面附近电场强度最大，查表可知空2?r－

气的击穿电场强度Eb = 3.0?106 V?m1，只有E?Eb，空气才不会被击穿，故?的极限值

式中导体表面电荷面密度???m??0Eb?2.66?10?5C?m?2

显然，它与导线半径无关。 题8.21：一空气平板电容器，空气层厚 1.5 cm，两极间电压为40 kV，该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30 cm的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为 7.0，击穿电场强度为10 MV?m?1。则此时电容器会被击穿吗？ 题8.21解：未插入玻璃时，电容器内的电场强度为

E?Ud?2.7?106V?m?1

因空气的击穿电场强度Eb = 3.0?106 V?m1，E?Eb故电容器不会被击穿

－

插人玻璃后，由习题8.15可知，空气间隙中的电场强度

E??rV?3.2?106V?m?1

?r?d?????此时，因E?Eb，空气层被击穿。击穿后40 kV电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度

V??，玻璃也将相继被击穿，电容器完全被由于玻璃的击穿电场强度E?b = 10 MV?m?1，故E?Eb击穿。

－

题8.22：某介质的相对电容率?r?2.8，击穿电场强度为18?106 V?m1，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF，而耐压为4.0 kV的电容器，它的极板面积至少要多大。

题8.22解：介质内电场强度

E?Eb?18?106V?m?1

E??1.3?107V?m?1

电容耐压Um = 4.0 kV，因而电容器极板间最小距离

d?UmEb?2.22?10?4m

要制作电容为0.047 μF的平板电容器，其极板面积

Cd S??0.42m2

?0?r显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。

题8.23：一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。 题8.23解：（1）极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为

1Q22 we??0E?

22?0S2在外力作用下极板间距从d被拉开到2d。电场占有空间的体积，也由V增加到2V，此

时电场能量增加。

Q2d ?We?we?V?

2?0S（2）两导体极板带等量异号电荷，外力F将其缓缓拉开时，应有F = ?F 则外力所作的功为

Q2dA??Fe??r?QEd?

2?0S外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。

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