2010年高考数学压轴题跟踪演练(7+9+8+6+7+7) (3)

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;

40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1,

∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?11, x?1x1?x211–1 + = . x2?1x1?1(x2?1)(x1?1)法1. 设–1 < x1 < x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1–

∵ –1 < x1 < x2, ∴ x1 – x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,

∴f (x2) – f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =

1> 0 得x ? –1, 2(x?1) ∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?

4 > 0 , |a|444|a| ∴f (| c | ) ? f () = =

4|a||a|?4?1|a|f ( | a | ) + f ( | c | ) =

|a|4|a|4+ > +=1. |a|?1|a|?4|a|?4|a|?4 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

设定义在R上的函数f(x)?a0x?a1x?a2x?a3x?a4（其中ai∈R，i=0,1,2,3,4），当

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x= －1时，f (x)取得极大值（1） 求f (x)的表达式；

2，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称． 3（2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横

坐标都在区间??2,2?上；

??2n?12(1?3n)4,y?(n?N)（3） 若xn?，求证：f(x)?f(y)?. n+nnnn233解：（1）f(x)?13x?x.…………………………5分 3??2?2? （2）?0,0?,?2,????或?0,0?,???2,3??.…………10分 3???? （3）用导数求最值，可证得f(xn)?f(yn)?f(?1)?f(1)?5．（本小题满分13分）

4.……15分 3x2y2设M是椭圆C:??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对

124称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

解：设点的坐标M(x1,y1),N(x2,y2)(x1y1?0),E(x,y),

则P(?x1,y1),Q(?x1,?y1),T(x1,?y1),……1分

?x12???12 ?2?x2???12y12?1,????(1)4………………………………………………………3分 2y2?1.????(2)4 由（1）－（2）可得kMN?kQN??.………………………………6分 又MN⊥MQ，kMN?kMQ??1,kMN??13x1y,所以kQN?1. y13x1 直线QN的方程为y?分

从而得x?

y1x(x?x1)?y1，又直线PT的方程为y??1x.……103x1y111x1,y??y1.所以x1?2x,y1??2y. 22

x2 代入（1）可得?y2?1(xy?0),此即为所求的轨迹方程.………………13分

36．（本小题满分12分）

过抛物线x?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0. （1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由.

2x12x2解法（一）：（1）设A(x1,),B(x2,),(x1?x2)

4422'由x?4y,得：y?2x 2?kPA?x1x,kPB?2 22?PA?PB?0,?PA?PB,?x1x2??4………………………………3分

x12x1x1xx12直线PA的方程是：y??(x?x1)即y?? ①

42242x2xx2? ② 同理，直线PB的方程是：y?24x1?x2?x??2由①②得：?(x1,x2?R) x1x2?y???1,4?∴点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分

2x12x2x?x?1),FB?(x2,?1),P(12,?1) （2）由（1）得：FA?(x1,442FP?(x1?x2,?2),x1x2??4 222x12x2x12?x2FA?FB?x1x2?(?1)(?1)??2? …………………………10分

4442(x1?x2)2x12?x2(FP)??4??2

442

所以FA?FB?(FP)?0

故存在?=1使得FA?FB??(FP)?0…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且PA?PB?0, ∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA?PB, 设PA的直线方程是y?kx?m(k,m?R,k?0)

22由??y?kx?m2得：x?4kx?4m?0 2?x?4y???16k2?16m?0即m??k2…………………………3分

即直线PA的方程是：y?kx?k 同理可得直线PB的方程是：y??211x?2 kk1?y?kx?k2???x?k??R由? 11得：?ky??x?2???y??1kk?故点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分 （2）由（1）得：A(2k,k),B(?2211,2),P(k?,?1) kkk21FA?(2k,k2?1),FB?(?,2?1)

kk1FP?(k?,?2)

k11FA?FB??4?(k2?1)(2?1)??2?(k2?2)………………………………10分

kk11(FP)2?(?k)2?4?2?(k2?2)

kk故存在?=1使得FA?FB??(FP)?0…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）

设函数f(x)?21?x?lnx在[1,??)上是增函数. ax1a?ba?b?ln?. a?bbb（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：

解：（1）f'(x)?ax?1?0对x?[1,??)恒成立， ax2?a?又

1对x?[1,??)恒成立 x1?1 ?a?1为所求.…………………………4分 xa?ba?b（2）取x?，?a?1,b?0,??1，

bb1?x一方面，由（1）知f(x)??lnx在[1,??)上是增函数，

axa?b?f()?f(1)?0

ba?b1?b?lna?b?0 ?a?bba?ba?b1即ln……………………………………8分 ?ba?b另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)

G'(x)?1?1x?1??0(?x?1) xx∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0 ∴当x?1时，G(x)?G(1)?0

a?ba?b ?lnbb1a?ba?b综上所述，?ln?.………………………………………………14分

a?bbb∴x?lnx 即8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90，

?yAB、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，

若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、!ABC的周长为12．

xD两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线EBODC????????相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MP??PN，问在x轴上是否存在定?????????????点G，使BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，

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