2010年高考数学压轴题跟踪演练(7+9+8+6+7+7) (5)

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,

即 k2?1. ① 4x2将y?kx?2代入?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0.

3由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

2??1?3k?0,?222???2?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.

1即k2?且k2?1.3设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA?xB?62k?9,x?x?AB1?3k21?3k2

由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2 ?(k?1)?2?962k?2k??2 221?3k1?3k3k2?7?.3k2?13k2?715k2?13于是2?6,即?0.解此不等式得 23k?13k?1k2?131或k2?. ③ 153由①、②、③得

1113?k2?或?k2?1. 4315故k的取值范围为(?1,?6．（本小题满分12分）

数列{an}满足a1?1且an?1?(1?13311313)?(?,?)?(,)?(,1) 1532231511)a?(n?1). nn2?n2n（Ⅰ）用数学归纳法证明：an?2(n?2)；

2（Ⅱ）已知不等式ln(1?x)?x对x?0成立,证明:an?e(n?1)，其中无理数

e=2.71828….

（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，a2?2?2，不等式成立. （2）假设当n?k(k?2)时不等式成立，即ak?2(k?2),

那么ak?1?(1?11)ak?k?2. 这就是说，当n?k?1时不等式成立.

k(k?1)2根据（1）、（2）可知：ak?2对所有n?2成立. （Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有 an?1?(1?两边取对数并利用已知不等式得 lnan?11111)a??(1??)an.(n?1) nn2?n2nn2?n2n11?ln(1?2?n)?lnan

n?n2?lnan?1111 故 (n?1). lna?lna???.n?1nn(n?1)2nn2?n2n上式从1到n?1求和可得

lnan?lna1?111111??????2???n?1 1?22?3(n?1)n2221n111111112?1??(?)???????1??1?n?2. 1223n?1n2n21?21?即lnan?2,故an?e2（Ⅱ）证法二：

由数学归纳法易证2?n(n?1)对n?2成立，故

n(n?1).

an?1?(1?1111)a??(1?a?nnn(n?1)n(n?1)n2?n2n(n?2),则bn?1?(1?1)bnn(n?1)(n?2).

令bn?an?1(n?2).

取对数并利用已知不等式得 lnbn?1?ln(1?1)?lnbn

n(n?1)?lnbn?

1n(n?1)(n?2).

上式从2到n求和得 lnbn?1?lnb2?111 ????1?22?3n(n?1)?1?11111???????1. 223n?1n(n?2).

因b2?a2?1?3.故lnbn?1?1?ln3,bn?1?e1?ln3?3e故an?1?3e?1?e2,n?2,又显然a1?e2,a2?e2,故an?e2对一切n?1成立. 7．（本小题满分12分）

已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0?1,an?1?（1）证明an?an?1?2,n?N; （2）求数列{an}的通项公式an. 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a0?1,a1?1an,(4?an),n?N. 213a0(4?a0)?, 22 ∴a0?a1?2，命题正确. 2°假设n=k时有ak?1?ak?2. 则n?k?1时,ak?ak?1?11ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak) 221?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)2

1?(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).2而ak?1?ak?0.又ak?1?4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.

11ak(4?ak)?[4?(ak?2)2]?2. 22∴n?k?1时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有an?an?1?2. 方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a0?1,a1?13a0(4?a0)?,∴0?a0?a1?2； 22 2°假设n=k时有ak?1?ak?2成立，

1x(4?x)，f(x)在[0，2]上单调递增，所以由假设 2111有：f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2),

222 令f(x)?也即当n=k+1时 ak?ak?1?2成立，所以对一切n?N,有ak?ak?1?2 （2）下面来求数列的通项：an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 222(an?1?2)??(an?2)2

1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,则bn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222,

又bn=－1，所以bn??()2

12n?11n,即an?2?bn?2?()2?1

2

备战2010高考数学――压轴题跟踪演练系列六

1．（本小题满分14分）

如图，设抛物线C:y?x的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

2解：（1）设切点A、B坐标分别为(x,x0)和(x1,x12)((x1?x0)，

2∴切线AP的方程为：2x0x?y?x0?0;

2 切线BP的方程为：2x1x?y?x1?0; 解得P点的坐标为：xP?2x0?x1,yP?x0x1 2x0?x1?xP?xP，

32所以△APB的重心G的坐标为 xG?2y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????,

3333所以yp??3yG?4xG，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2).

3 （2）方法1：因为FA?(x0,x0?),FP?(由于P点在抛物线外，则|FP|?0.

214x0?x1112,x0x1?),FB?(x1,x1?). 244x0?x11112?x0?(x0x1?)(x0?)x0x1?FP?FA44?4, ∴cos?AFP??21|FP||FA||FP|22|FP|x0?(x0?)24x0?x11112?x1?(x0x1?)(x1?)x0x1?FP?FB244?4, ?同理有cos?BFP?1|FP||FB||FP|22|FP|x1?(x1?)24∴∠AFP=∠PFB.

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