2010年高考数学压轴题跟踪演练(7+9+8+6+7+7) (6)

共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

（IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得lim(b1?b2???bn)存在，并求出

n??这个极限值. 解：（I）?n?N*

?f(n)?n[n?(n?1)]?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n

……1分

?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2

f(3)?f(2)?3 ……

f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0

n(n?1)

?f(n)?2n(n?1) ……3分 (n?N*)

2 （II）S(n)?S(n?1)为一直角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底

?an?边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1 ?S(n)?S(n?1)?a?anf(n?1)?f(n) ?1?n?122

……6分

1n(n?1)n(n?1)n2?]? ?[

2222 （III）设满足条件的正整数N存在，则

n(n?1)n2n?1005???1005?n?2010

222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?N?2010，2012，……，2998均满足条件

它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

设共有m个满足条件的正整数N，则2010?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中满足条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2010 （IV）设bn?……9分

1211，即bn??2(?) ann(n?1)nn?11111111?)?(?)???(?)]?2(1?) 2334nn?1n?11 显然，其极限存在，并且lim(b1?b2???bn)?lim[2?]?2 ……10分

n??n??n?1 则b1?b2???bn?2[(1?)?(n1n?n1cn?1 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?q(0?|q|?1)等都能使

2an122a2an??lim(b1?b2???bn)存在.

3. （本小题满分14分）

y2x2 设双曲线2??1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.

3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.

若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c?4a ?c?a?3，?a?1，c?2

2222x23?1，渐近线方程为y??x ?双曲线方程为y?332 4分

（II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y

??

?2|AB|?5|F1F2|?|AB|?55|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10

33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??10?3?21x23y22 ?3(2y)?(2x)?100，即??1

375252 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为（9分）

（III）假设存在满足条件的直线l

设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)

103的椭圆.3???OP·OQ?0

?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1??0(i)2

?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0?y?3?1 ?6k23k2?3则x1?x2?2，x1x2?(ii)23k?13k?1 由（i）（ii）得k?3?0

∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 4. （本小题满分13分）

已知数列?an?的前n项和为Sn(n?N)，且Sn?(m?1)?man对任意自然数都成

*2 14分

立，其中m为常数，且m??1. （I）求证数列?an?是等比数列；

（II）设数列?an?的公比q?f(m)，数列?bn?满足：b1?1a1，bn?f(bn?1) 3(n?2，n?N*)，试问当m为何值时，limbn(lgan)?lim3(b1b2?b2b3?b3b4?

n??n??…?bn?1bn)成立？

解：（I）由已知Sn?1?(m?1)?man?1 Sn?(m?1)?man （2）

由(1)?(2)得：an?1?man?man?1，即(m?1)an?1?man对任意n?N*都成立

(1)

?m为常数，且m??1 ?an?1m?anm?15分

即?an?为等比数列 （II）当n?1时，a1?(m?1)?ma1

?a1?1，从而b1?13mm?1

由（I）知q?f(m)??bn?f(bn?1)?bn?1(n?2，n?N*)bn?1?1?1111?1?，即??1bnbn?1bnbn?1?1??为等差数列?bn?11?3?(n?1)?n?2，bn?(n?N*)bnn?2n?1 ??

?9分?m? ?an????m?1?

n?1mm?limbn(lgan)?lim·lg?lgn??n??n?2m?1m?1 lim3(b1b2?b2b3?…?bn?1bn)n??

11??1111?lim3?????…????1n???3445n?1n?2? 由题意知lgmm10?1，??10，?m?? m?1m?19 13分

5．（本小题满分12分）

x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直

ab线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程． 解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?由P分AQ所成的比为8∶5，得P(2a2?b2,A(0,b)．

85x0,b)， 2分 131382x523∴()02?()?1?x0?a．①， 4分

13a132而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ，

b2∴FA?AQ?0．?cx0?b?0,x0?．②， 5分

c2由①②知2b?3ac,?2c?3ac?2a?0． ∴2e?3e?2?0.?e?22221． 6分 2b2?c2,0)， （2）满足条件的圆心为O?(2cb2?c2a2?c2?c2??c,?O?(c,0)， 8分 2c2cb2?2a2c圆半径r???a． 10分

22c由圆与直线l：x?3y?3?0相切得，

|c?3|?a， 2x2y2??1． 12又a?2c,?c?1,a?2,b?3．∴椭圆方程为43分

6．（本小题满分14分）

（理）给定正整数n和正数b，对于满足条件a1?an?1?b的所有无穷等差数列?an?，

2

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