2010年中考数学二轮拔高专题复习—代数几何综合题

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2010年中考数学二轮复习——代数几何综合题

Ⅰ、综合问题精讲：

代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析

的中点，AE⊥AC于【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BFAD，EM切⊙O于M。

1

⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2＝BC·CE；

2⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。 解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE，

∵BFAD，∴∠DCA＝∠BAE，

∴△CAD∽△AEB

⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图)

中点，∴HC＝HB1， ∵A是BDC

2

102

∵∠CAE＝90，∴AC＝CH·CE＝ BC·CE

2

中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， ⑶∵A是BDC

∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM ① 12

∵ACBC·CE，BC·CE＝8 ②

2①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC＝17 ∵EC＝AC＋AE17－2＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， AE13

∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AC2

点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.

【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠

BAC=90。

○

2

2

2

22

2

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过C作CD⊥x轴，D为垂足． （1）求点 A、B的坐标和AD的长； （2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。 解：（1）在y=2x+2中 分别令x=0，y=0．

得 A（l，0），B（0，2）． 易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2．

（2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）． 设过过B、A、C三点的抛物线为y ax2 bx c

5

a 6

a b c 0

17 所以 c 2 ，解得 b

6 9a 3b c 1

c 2

所以y

5217

x x 2 66

点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO．

【例3】（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为5个平方单位？

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b 由题意，得

3 b=6k 解得 4

8k b 0

b 6

24

所以，直线AB的解析式为y＝－

3

x＋6． 4

（2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t

1° 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

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