2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解(12)

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD

的距离为2.

S DQC

12x

设QD＝x，则，由（Ⅱ）得

CD=OB=

2

，

在Rt△POC中，

PC

S PCD

4

2

所以PC=CD=DP

,

AQ

13.

由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时QD解法二： (Ⅰ)同解法一.

OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，(Ⅱ)以O为坐标原点，OC、

易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

1，0），PB＝（1， 1， 1）. 所以CD＝（ 1，

所以异面直线PB与CD所成的角是

arccos3，

(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD

的距离为2， 由(Ⅱ)知

CP ( 1,0,1),CD ( 1,1,0).

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).

n CP 0, x0 z0 0,

n CD 0, x y 0,x y0 z0 则 所以 00即0，

取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

Q(0,y,0)( 1 y 1),CQ ( 1,y,0),

CQ

nn32，

2

2

,

设由

15

解y=-2或y=2(舍去)，此时

AQ

12

,QD

AQ

所以存在点Q满足题意，此时QD

（19）（本小题满分12分）

13.

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