新疆生产建设兵团2014年中考数学真题试题(含解析)(3)

点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）． （1）写出A，B两点的坐标；

（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？

（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

(2)在 Rt△AOB 中，由勾股定理得，AB=

=

=10,

∵点 P 的速度是每秒 2 个单位，点 Q 的速度是每秒 1 个单位， ∴AP=2t, AQ=AB﹣BQ=10﹣t, ∴点 Q 到 AP 的距离为 AQ sin∠OAB=(10﹣t)×2

= (10﹣t) ,2

∴△AQP 的面积 S= ×2t× (10﹣t)=﹣ (t ﹣10t)=﹣ (t﹣5) +20, ∵﹣ <0,0<t≤3, ∴当 t=3 时，△AQP 的面积最大，S 最大=﹣ (3﹣5) +20=2

;

(3)若∠APQ=90°,则 cos∠OAB= ∴ 解得 t= = , , ,

,

若∠AQP=90°,则 cos∠OAB= ∴ 解得 t= = , ,

∵0<t≤3, ∴t 的值为 ， = , )× = ) , ,

此时，OP=6﹣2×

PQ=AP tan∠OAB=(2× ∴点 Q 的坐标为( 综上所述，t= 为( , ) . ,

秒时，以点 A,P,Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，此时点 Q 的坐标

点评： 本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面 积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数， (2)要注 意根据 t 的取值范围求三角形的面积的最大值， (3)难点在于要分情况讨论.

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