第2课时 集合的表示
学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
知识点一 列举法
把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法叫作列举法． 思考 一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？ 答案 不需要，集合元素具有无序性． 知识点二 描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征．
思考 不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？ 答案 元素的共同特征为x∈R，且x<5. 知识点三 有限集、无限集、空集
含有有限个元素的集合叫作有限集；含有无限个元素的集合叫作无限集；不含任何元素的集合叫作空集，记作?. 知识点四 区间
1．区间概念(a，b为实数，且a
定义 {x|a≤x≤b} {x|a
2.其他区间的表示
定义 区间
思考 区间能表示空集吗？
R {x|x≥a} {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x
1．由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( × ) 2．集合{(1,2)}中的元素是1和2.( × )
3．集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( √ ) 4．{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合．( × )
一、用列举法表示集合 例1 用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数构成的集合．
解 (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．
(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}． (4)正整数有1,2,3，…，所求集合为{1,2,3，…}． (学生留)
反思感悟 用列举法表示集合应注意的两点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．
(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素． 跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合： (1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合；
(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴的交点组成的集合．
解 (1)方程(x－1)2(x－2)＝0的解为1和2，因此可以用列举法表示为{1,2}．
(2)由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}．
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}． 1?
(4)函数y＝2x－1的图象与x轴的交点为??2，0?，与y轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举1???
?法表示为??0，－1?，??2，0?.
?
?
二、用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)使y＝
1
有意义的实数x的集合； x－6
(2)坐标平面上第一、三象限内点的集合；
(3)函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上所有点的集合； (4)方程x2＋(m＋2)x＋m＋1＝0(m∈Z)的解组成的集合． 1
解 (1)要使y＝有意义，则x－6≠0，即x≠6，
x－6故满足题意的实数x的集合是{x∈R|x≠6}．
(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，因此满足题意的点的集合是{(x，y)|xy>0，x∈R，y∈R}．
(3)满足题意的点的集合是{(x，y)|y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈R}． (4)方程的解组成的集合是{x|x2＋(m＋2)x＋m＋1＝0，m∈Z，x∈R}． (学生)
反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合的代表元素．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内． (3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写． (5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素．如{直角三角形}，{自然数}等． 跟踪训练2 用描述法表示下列集合： (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解 (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3. 所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}． 三、集合表示法的综合应用
例3 选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集： (1)大于1且小于70的正整数构成的集合； (2)方程x2－22x＋2＝0的实数解构成的集合；
??2x－3y＝14，
(3)方程组?的解集．
?3x＋2y＝8?
解 (1)设大于1且小于70的正整数构成的集合为A，则集合A中有68个元素，是有限集，用描述法表示为A＝{x∈N|1
(2)设方程x2－22x＋2＝0的实数解构成的集合为B，因为Δ＝8－8＝0，所以该方程有2个相等的实数解，即集合B中存在1个元素，则B是有限集．用描述法表示为B＝{x|x2－22x＋2＝0}．
???2x－3y＝14，?x＝4，
(3)由?得?
???3x＋2y＝8，?y＝－2，?????x＝4，???故解集可用描述法表示为??x，y????????y＝－2???
，
也可用列举法表示为{(4，－2)}，是有限集．
反思感悟 (1)如果集合中的元素比较少或所含元素不易表述，宜用列举法． (2)如果集合中的元素比较多或有无限个元素，宜用描述法． 跟踪训练3 用适当的方法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2>6的解构成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
解 (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．
(2){x|x＝2n＋1且x<1 000，n∈N}． (3){x|x>8}． (4){1,2,3,4,5,6}．
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( ) A．{1,1} C．{x＝1} 答案 B
解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确． 2．下列四个集合中，是空集的是( ) A．{0}
C．{x∈R|x2＋1＝0} 答案 C
解析 选项A，B，D都含有元素，而选项C中无元素，故选C. 3．集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是( ) A．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} 答案 B
解析 N＋是正整数组成的集合．
4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________________________． 答案 {x|x＝2n，n∈N＋}
解析 正整数中所有的偶数均能被2整除．
??8??
5．用列举法表示集合A＝?x?x∈Z，6－x∈N?＝________.
??
B．{1}
D．{x2－2x＋1＝0}
B．{x|x>8或x<5} D．{x∈N|3.5
B．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}
?
??
答案 {5,4,2，－2} 解析 ∵x∈Z，
8
∈N，∴6－x∈{1,2,4,8}，此时x∈{5,4,2，－2}，即A＝{5,4,2，－2}． 6－x
1．知识清单：
(1)用列举法和描述法表示集合．
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