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数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.
●难点磁场
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=
n(n?1)(an2+bn+c). 12●案例探究
［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有：an+cn＞2bn.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★级题目.
知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1
＞ak·c+ck·a.
b证明：(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q＞0且q≠1)
qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn
qqn
n
an?cna?cn
(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)
22下面用数学归纳法证明：
a2?c2a?c2①当n=2时,由?()
22ak?cka?ck②设n=k时成立,即?(),
22ak?1?ck?11则当n=k+1时,? (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) 44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()
2221［例2］在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn－成等比数列.
2(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{an}所有项的和.
命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.
知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.
1错解分析：(2)中,Sk=－应舍去,这一点往往容易被忽视.
2k?32(a2+c2)＞(a+c)2,∴
技巧与方法：求通项可证明{
111}是以{}为首项,为公差的等差数列,进而求得通项
S1Sn2104
公式.
11成等比数列,∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*) 222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
3212由a1=1,a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－
3315解：∵an,Sn,Sn－
?1 (n?1)2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2? (n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.
2②假设n=k(k≥2)时,ak=－成立
(2k?3)(2k?1)21故Sk2=－·(Sk－)
(2k?3)(2k?1)2∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0
11 (舍) ,Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)
22∴Sk=
2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2
?2?ak?1?,即n?k?1命题也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知,an=?对一切n∈N成立. 2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得数列前n项和Sn=
1,∴S=limSn=0.
n??2n?1●锦囊妙记
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题,若 1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明：恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),
105
则最大的m的值为( )
A.30 B.26 C.36 D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 二、填空题
1311511173.(★★★★★)观察下列式子：1??,1?2?2?,1?2?2?2?…则可归
223423234纳出_________.
4.(★★★★)已知a1=an=_________.
三、解答题
5.(★★★★)用数学归纳法证明42n?1+3n+2能被13整除,其中n∈N*.
3an1,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________,由此猜想
an?3211113. ?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求数列{bn}的通项公式bn;
6.(★★★★)若n为大于1的自然数,求证：(2)设数列{an}的通项an=loga(1+
1)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试bn比较Sn与
1logabn+1的大小,并证明你的结论. 38.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表达式,
n??
又如果limS2n＜3,求q的取值范围.
参考答案
难点磁场
1?4?(a?b?c)?6?a?3?1??解：假设存在a、b、c使题设的等式成立,这时令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c) ??b?11
2??c?10??70?9a?3b?c??于是,对n=1,2,3下面等式成立
n(n?1)1·22+2·32+…+n(n+1)2=(3n2?11n?10)
12记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2
k(k?1)设n=k时上式成立,即Sk= (3k2+11k+10)
12k(k?1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
2
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