六年级奥数 应用题 工程问题（ABC级）. 教师版

工程问题

知识框架

一、 基本概念

（1） 工作总量

完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示. （2） 工作时间 （3） 工作效率

单位时间内所完成的工作量

二、 基本关系

工作量 = 工作效率×工作时间

【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.

三、 常用工具和方法

（1） 基本关系 （2） 整体化归思想 （3） 对比分析的方法

重难点

（1） 重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题

（2） 难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用

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例题精讲

一、 根据基本关系解题

【例 1】 一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多

少时间？

【考点】工程应用题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的

作每天能完成总量的

【答案】12

【巩固】 一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 【考点】工程问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 将整个工程的工作量看“1”个单位，那么甲每天完成总量的

乙单独做每天能完成总量的

【答案】

【例 2】 一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20

天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.

【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，一试 【解析】 甲每天完成

11，乙每天完成总量的，两人合28211111??，所以两人合作的话，需要1??12天能够完成． 2821121211，甲、乙合作每天完成总量的，2112111，所以乙单独做28天能完成． ??1221281 28120111，甲乙合作中，甲一共完成?，所以乙也一共完成，乙每天完成，乙单40402260独做要60天.

【答案】60天

【巩固】 一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单

独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？

【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一：甲的工作效率为

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112，甲队8天的工作量为?8?，所以乙队15天的工作量为20205Page 2 of 24

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1?2331，所以乙队单独完成这项工作需要25天 ?，乙的工作效率为?15?55525方法二：此题可以运用化归思想解决，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的

44，乙独做的时间为20??25（天）。 55【答案】25天

二、 运用整体化归思想解题

【例 3】 有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙

同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮甲 小时，帮乙 小时。

【考点】工程问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2009年，希望杯，第七届，六年级，二试

【解析】 整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们

完

成

工

作

的

总

时

间

为

2?11(?67?121． )小?时

144在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过． 121771113甲完成的工作量是??，所以丙帮甲搬了1??的货物，丙帮甲做的时间为??1小

648888144时，那么丙帮乙做的时间为

1【答案】3小时

22131?1?3小时． 442【巩固】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小

时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同

时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为

11111，所以整池水由乙管单独灌水，1??2??2?，所以乙的工作效率为：?(6?2?2)?54101020MSDC模块化分级讲义体系

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需要1?【答案】20小时

1． ?20（小时）

201【例 4】 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的1倍．上午去

2甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有

7的人去甲工地．其他工人到乙工12地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？

【考点】工程问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有12x人．

那么上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工地；下午有7x人在甲工地，有5x人在乙工地．所以甲工地相当于?9x?7x??2?8x人做了一整天；乙工地相当于?3x?5x??2?4x人做了一整天． 由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的

3倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作2331份，所以乙工地还剩下2??222量是2份．8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成

份．这

1?1?份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要4??3???24人做一整天，即8x?24，

2?2?可得x?3，那么这批工人有12?3?36(人)．

【答案】36人

【巩固】 甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加

1，如果让甲、4乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天．现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？

【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，

即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设A工程的工作总量为单位“1”，那么B工程的工作量就是“

5，那么这个问题就和例5联系到了一起了。 ”411??5??1???18天。18天里，乙队一直在完三队合作完成两项工程所用的天数为：?1??????4??202430?MSDC模块化分级讲义体系

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