因式分解知识要点
因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的 变形求解等方面均有着十分重要的应用,下而对因式分解川的有关知识要点进行归纳说明,供大 家学习和参考。
1、 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解(也可叫做把这个多项 式分解因式)。本定义可从以下几方血进行理解:
⑴、因式分解是一种恒等变形,如a -b = (a + b)(a-b),无论字母a和b取何值,代数式亍-Z?与(a + b)(a-b)的值总是相等的;
(2) 、因式分解的结果必须是整式的积的形式,分解后的因式可以是单项式,也可以是多项式, 但
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必须都是整式;
(3) 、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算,故因式分解是否正确,通常可以用整式乘法进 行
检验,看乘得的结果是否等于原多项式;
(4) 、多项式的因式分解,必须进行到每个因式都不能再分解为止,但要注意是在何种数集内 进
行因式分解(如无特殊说明,教材一-般只要求在有理数范围内进行分解)。
2、 因式分解的方法
⑴、提公因式法:如果一个多项式的各项都含有公因式,则可利用分配律将此多项式的公因 式提出来,从而将原多项式分解成两个因式的积的形式,像这种因式分解的方法,叫做提公因式 法 o 女
n: ma + mb + me = + b + c)。
⑵、运用公式法:利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解,像这种因式 分解的方法就称为公式法。公式法主要有以下两种:
① 平方差公式:a-b =(a + b)(a-b); ② 完全平方公式:a ±2ab + b =(a±b) o
22222⑶、分组分解法(教材中未给岀但作业中有所涉及):将一个多项式中所含的各项分成若干 组,然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解,像这种因式分解的方法就称
为分组分解法。运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式;②分组 后能直接运用公式(平方差公式或完全平方公式)。
3、 因式分解的步骤
因式分解的一般步骤是:先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提収公因式;若无公因 式,则看能否运用公式法进行分解;最后,若以上方法均不能分解,则可尝试采用分组分解法。
因式分解也可按以下步骤进行考虑:先提公因式,若公因式提取后的多项式是二项式,则考 虑用平方差公式;若是三项式,则考虑用完全平方公式或分组分解法;若是四项或四项以上的多 项式,则应考虑用分组分解法。
因式分解的步骤还可用口决概括为:“先看有无公因式,再看能否套公式,分组分解试一试, 最后结杲要合适\。
4、 有关因式分解的几项规定
(1) 、因式分解的结果屮若既有单项式又有多项式,则单项式须放在多项式的前面。如 x3 - 4x2 +4x = x(x - 2)2 ;
(2) 、提公因式时,必须一次性捉尽相同字母的最低次数。如对/ -4x3提公因式时,不能写成 x5 -4x3 =x(x4 -4x2);
⑶、分解因式后的乘积中若有相同的因式,则应写成幕的形式。如对X3-4X2+4X分解因式时 应写作分一4兀2 +4X = X(X-2),而不写作4x +4x = x(x一2)(兀-2);
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2(4)、多项式的最高次项系数是负数时,分解因式前应先提出“一”号。如 —f + 2x — 1 = —— 2x+1);
以上规定需要同学们在解题过程中认真进行反思.领悟和体会,切忌死记硬背。
《因式分解》知识要点精析
一、 因式分解的概念:
1、 因式分解:把一个多项式化成几个整式积的形式,这样的式子变形叫做把这个多项式因式分 解. 2、 因式分解的注意事项:
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(1)
因式分解的结果必须是几个鳖.式祝的形式,如:?x+2=x ( x ),②X—4 + 5尸(% +2) 2)
+5兀,这些都不是因式分解,因为①不是整式,②不是积的形式.
(3) 分解结果应在指定范围内不能再分解为止;若无指定范围,一般在有理数范围内分解如: /一16= (/+4) (/_4),到此还没有分解彻底,正确解:原式=(^2+4) (a-4) = (a+4) (a + 2) (a~2);
22 (4) 结果中相同的因式要写成幕的形式; (5) 单项式不存在因式分解.
二、 因式分解的方法: (一)捉取公因式法:
1、 提収公因式:如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提収出來进行分解的方 法叫
做提取公因式法?如:多项式ma+mb各项都含有的公因式加,可将加提到括号外血,写成加
Ca+b)的形式.
2、 公因式的确定:
用提取公因式法分解因式的关键是确定公因式,确定公因式可按照下面的步骤:
(1) 公因式的系数应収各项系数绝对值的最大公约数(当系数是整数时) (2) 字母取各项的相同字母, (3) 各字母的指数取最低次幕 3、 提取公因式的注意事项
(1) 提公因式后的项数应与原多项式的项数一样,
(2) 当多项式的某一项恰好是公因式时,这一项应看成它与1的乘积,提公因式后剩下的应是 1.1作为项的系数通常可省略,但如果单独成一项时,它在因式分解时不能漏项?这类题常有学生
犯下面的错误,如:4x2Sax+2x=2x (2A—4?)
(3) 第一项的系数是负数时,应先提负号转化,然后再提公因式
(4) 添括号法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变号;括号前面是“一”号,括到括
号里的各项都要变号
(5) 公因式要提尽,如:=3\加=%勿=\(3 + 6无+9刃&)原式应分解为:一3\(1—\ 3y)
(6) 公因式可以是一个数、一个单项式、一个多项式.如:2 (a~b) ~a+h,利用添括?号法则把
—a+b可变形成一(a+b),若把(a—b)看作〃2,原多项式就町以提取公因式a_b.
(二)运用公式法:
1、 概念
平方差公式:a'—b= (a+b) (?—/?); 完全平方公式:/+2肋+/?2= (c/+Z?) 2;
1a — 2ab+b= (a—b) . (°、b可以表示数、单项式、多项式)
在选用完全平方公式的关键是看多项式中的乘积为2倍的符号.
2、 运用公式法的注意事项:
(1) 若多项式为两项,这两项都能写成完全平方数(或式)的形式,且符号相反,即可用平方 差
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公式;
(2) 若多项式为三项,其中有两项能写成完全平方数(或式)的形式,符号相同,且第三项恰
是这两个数(或式)的2倍或2倍的相反数,即可用完全平方公式;
(3) 因式分解吋,无论有几项,首先考虑提取公因式.再考虑是否符合公式.
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