∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴OA=，
=
，∵AD=4，CD=3，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴AC=5，∴DM==OA?PM=××故选D．
，∴PM=PD+DM=1+=
，
=
，∴△AOP的最大面积
（4题答图）（5题答图）
【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三
角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；
5. 解：如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，则FD⊥AB． ∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，FC+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值，∴CD=BC?AC÷AB=4.8．故选：B． 6.22；
7. 解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD； Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2； ∴S△ACD=AD?CD=
；易证得△AOE∽△ADC，∴
=（
）=（
2
）=，
2
即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣
=2﹣；
另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C．
（7题答图）（8题答图）
8. 解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD=AO=2，
2
连接CD，设EF=x，∴DE=EF?OE，∵CF=1， ∴DE=，∴△CDE∽△AOE， ∴B．
17
=，即=
，解得x=，S△ABE=
==．故选：
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
9. 解：当PC⊥AB时，PQ的长最短．在直角△ABC中，AB===4， PC=AB=2∴PQ=
．∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，即∠CQP=90°，
=
=
．故选A．
【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PC⊥AB时，线段PQ最短是关键．
（9题答图）（10题答图）
10. 解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，
连接OM，PD，可得F为ED的中点，∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED为等边三角形， ∴AF为角平分线，即∠FAD=30°，在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2， ∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根据勾股定理得：FD=∴2
=，则DE=2FD=3．同理可得：DE的最小值为23，323?DE?33。 32222
11.1?m?n?5；12.0?m?1；13. 解：设P（x，y），∵PA=（x+1）+y，PB=（x﹣1）
+y，
222222222222
∴PA+PB=2x+2y+2=2（x+y）+2，∵OP=x+y，∴PA+PB=2OP+2，当点P处于OM
22
与圆的交点上时，OP取得最值，∴OP的最大值为OM+PM=5+2=7，∴PA+PB最大值为100．
2
【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大．
18
附：1.如图，直线分别与x、y轴交于点 A、B，以OB为直径作⊙M，⊙M与
直线AB的另一个交点为D． （1）求∠BAO的大小；（2）求点D的坐标；（3）过O、D、A三点作抛物线，点Q是抛物线的对称轴l上的动点，探求：|QO﹣QD|的最大值．
【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再求出∠BAO的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDO=90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD，直角三角形两锐角互余求出∠DOE=60°，然后解直角三角形求出OE、DE，再写出点D的坐标即可；
（3）根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为OA的垂直平分线，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出点Q为OD与对称轴的交点时|QO﹣QD|=OD的值最大，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣∴当y=0时，﹣∴OA=4
x+4分别与x、y轴交于点A、B，
；当x=0时，y=4，∴A（4
=
=
，0），B（0，4）．
x+4=0，解得x=4
，OB=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，∴∠BAO=30°；
（2）连接OD，过D作DE⊥OA于点E，∵OB是⊙M的直径，∴∠BDO=∠ADO=90°， 在Rt△AOD中，∵∠BAO=30°，∴OD=OA=×4OE=OD?cos∠DOE=2
×=
=2
，∠DOE=60°，在Rt△DOE中，×
=3，∴点D的坐标为（
，
，DE=OD?sin∠DOE=2
3）；
（3）易知对称轴l是OA的垂直平分线，延长OD交对称轴l于点Q，此时|QO﹣QD|=OD的值最大，理由：设Q′为对称轴l上另一点，连接OQ′，DQ′，则在△ODQ′中，|Q′O﹣Q′D|＜OD，
∴|QO﹣QD|的最大值=OD=2．
【点评】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数定义，解直角三角形，二次函数的对称性，三角形的三边关系，（3）判断出点Q为直线OD与对称轴的交点是解题的关键． 2. 如图，已知A，B两点的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），⊙C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O．若E是⊙C上的一个动点，线段AE与y轴交于点D． （1）线段AE长度的最小值是 ，最大值是 ；
19
（2）当点E运动到点E1和点E2时，线段AE所在的直线与⊙C相切，求由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积；
（3）求出△ABD的最大值和最小值．
（题图）（答图）
【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题． 【分析】（1）根据动点E在x轴上时，AE取得最小值与最大值解答；
（2）连接CE1、CE2，根据圆的切线的定义可得CE1⊥AE1，CE2⊥AE2，解直角三角形求出∠ACE1=60°，过点E1作E1F⊥x轴于F，利用∠ACE1的正弦求出E1F，然后利用三角形的面积求出△ACE1的面积，同理可得△ACE2的面积，再根据由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面积﹣扇形CE1E2的面积，然后列式计算即可得解； （3）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAO=30°，利用∠DAO的正切值求出OD的长度，根据三角形的面积，点D在y轴负半轴时，△ABD的面积取得最大值，在y轴正半轴时，△ABD的面积取得最小值，然后进行计算即可得解， 【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），∴OA=3，∵⊙C的圆心坐标为（3，0），并与x轴交于坐标原点O，∴⊙C的半径为3，∴AE长度的最小值为3，最大值为3+3×2=9；故答案为：3，9；
（2）如图，连接CE1、CE2，∵点E运动到点E1和点E2时，线段AE所在的直线与⊙C相切，
∴CE1⊥AE1，CE2⊥AE2，∵cos∠ACE1=轴于F，则E1F=CE1?sin60°=3×sin60°=3×=AC?E1F=×6×
=
，
，∴四边形AE1CE2的面积=△ACE1的面积+△ACE2的面
==
=，∴∠ACE1=60°，过点E1作E1F⊥x，∴△ACE1的面积
同理可得，△ACE2的面积=积=
+
=9
，由AE1、AE2、弧E1OE2所围成的图形的面积=四边形AE1CE2的面
﹣
，=9
﹣3π；
积﹣扇形CE1E2的面积，=9
（3）∵∠ACE1=60°，∴∠DAO=90°﹣ACE1=90°﹣60°=30°，∴OD=AO?tan∠DAO=3tan30°=3×
=
，∵点A到BD的距离为OA的长度，不变，
，最大面积
∴点D在y轴负半轴时，△ABD的面积取得最大值，此时BD=OB+OD=3+为： ×（3+
）×3=
，在y轴正半轴时，△ABD的面积取得最小值， ，最小面积为：×（3﹣
）×3=
．
此时BD=OB﹣OD=3﹣
【点评】本题是圆的综合题型，主要考查了圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，圆的切线问题，解直角三角形，以及三角形的面积，综合题，但难度不大，（1）（3）确定出最大值
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