复变函数论试卷

比较等式两边得 数.

2. 即要证“任一 次方程 根”.

. 从而在内均为常数,故在内为常

有且只有 个

证明 令

在

上

, 取

时

.

,

, 当有

由儒歇定理知在圆 同个数的根. 而 内有 个根.

内, 方程 在

.

与

内有一个

重根

. 因此

次方程在

有相

《复变函数》考试试题（三）参考答案

一. 判断题

1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√. 二.填空题. 1.

; 2.

; 3.

; 4. 1; 5.

;

6. 1; 7.

; 8.

; 9.

; 10.

.

三. 计算题.

1. 解 .

2. 解

所以收敛半径为.

.

3. 解 令 , 则 .

故原式4. 解 令 则在

四. 证明题.

1. 证明 证明 设在 令

内

上

. , 均解析, 且. 即在

.

, 故由儒歇定理有

内, 方程只有一个根.

.

.

两边分别对因为函数在

求偏导数, 得 内解析, 所以

. 代入 (2) 则上述方程组变为

. 消去

1) 2) 若所以所以

, 则

得, 为常数.

.

, 由方程 (1) (2) 及

. (

为常数).

方程有 , .

为常数.

2. 证明 取 , 则对一切正整数

均有

时,

.

.

于是由的任意性知对一切

故, 即是一个至多次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（四）参考答案

一. 判断题.

1．√ ２．× ３．× ４．× ５．× 6．√ ７．×８．× ９．√10．√ . 二. 填空题.

1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整

函数;

6. 亚纯函数; 7. 0; 8. 三. 计算题. 1.

; 9. ; 10. .

2. 解 故原式

,

.

.

3. 解 原式.

4. 解 =，令，得，

而

为可去奇点

当

时，

而

四. 证明题.

为一阶极点.

1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑

而

,

在上半平面内, 已知在下半平面内解析.

2. 证明 令且在故在在故在所以

内上, 内在

,

.

内仅有三个零点, 即原方程在

上,

,

, 则

, .

与

.

在上半平面解析, 因此

, 从而

在全平面解析,

内仅有三个根.

《复变函数》考试试题（五）参考答案

一. 判断题.

1．√２．√ ３．×４．√５．× 6．× ７．× ８．√ ９．√ 10．√. 二. 填空题.

1.2, 3.

,

,

; 2.

; 4.

;

; 5. 0; 6. 0;

7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10.

.

三. 计算题. 1. 解 令

, 则

.