因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法 :

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、 分解因式x3-2x2-x (2003淮安市中考题) x3 -2x2 -x=x(x2 -2x -1) 2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 + 4ab + 4b2 (2003南通市中考题) 解：a2 + 4ab +4b2 =（a+2b）2 3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 + 5n - mn - 5m 解：m2 + 5n - mn - 5m= m2 - 5m - mn + 5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)

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4、 十字相乘法

对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 - 3

7 2 2 - 21=-19

解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x2 +3x-40

33

解 x2 +3x - 40=x 2 + 3x + ( 2 ) 2 - ( 2 ) 2 -40 313=(x + 2 ) 2 - ( 2 ) 2 313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 ) =(x+8)(x-5)

39160169313注：( ) 2+ 40 = + = =( ) 2=( ) 2

244422

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b)

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=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 例7、分解因式2x4 -x3 -6x2 -x+2

解：2x4 -x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2 11=x2 [2(x2 + x2 )-(x+ x )-6 ] 1令y = x + x ,

11

则x2[2(x2 + x2 )-(x+ x )-6 ] = x2 [2(y2 -2)-y-6] = x2 (2y2 -y-10) =x2 (y+2)(2y-5)

11=x2 (x+ x +2)(2x+ x -5) = (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2) =(x+1)2(2x-1)(x-2)

121注：y2 =(x+ x ) = x2 + x2 +2 8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,??xn ,则多项式可因式分解为

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f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )??(x-xn ) 例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 解：令f(x)= 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0

1

通过综合除法可知，f(x)=0根为 2 ，-3，-2，1 则2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 注：2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 =2x4 +7x3 -2x2 -7x-6x +6 =2x4 -2x2 +7x3-7x-6x +6

=2x2 (x2 – 1) + 7x (x2 – 1) – 6 (x -1) =2x2 (x +1) (x -1) + 7x (x +1) (x -1) – 6 (x -1) =(x - 1) [2x2 (x +1) + 7x (x +1) – 6 ] =(x - 1) (2x3 +2x2 + 7x 2 +7x – 6 ) =(x - 1) (2x3 +9x2 +7x – 6 ) =(x - 1) (2x3 +6x2+3x2 +9x -2x – 6 ) =(x - 1)[ 2x2 (x +3) +3x(x + 3) -2(x + 3 ) =(x - 1) (x +3) ( 2x2 +3x -2 ) =(x - 1) (x +3) ( 2x -1)(x + 2 ) 1

所以四根分别是：1；-3；2 ；-2。 9、 图象法

令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,??xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )??(x-xn ) 例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6 解：令y= x3 +2x2 -5x-6

作出其图象，见右图，与x轴交点为-3，-1，2

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