通用版2020版高考数学大二轮复习专题突破练9利用导数证明问题及讨论零点个数理20191130538

专题突破练9 利用导数证明问题及讨论零点个数

1.设函数f(x)=e2x-aln x.

(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;

(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln2

.

2.(2019福建漳州质检二,理21)已知函数f(x)=xln x.

(1)若函数g(x)= )

2 ,求g(x)的极值; (2)证明:f(x)+1

.

(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10,

2

≈4.48,e2

≈7.39)

1

3.(2019河南洛阳三模,理21)已知函数f(x)=ln x-kx,其中k∈R为常数. (1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个相异零点x1,x2(x12-ln x1.

4.(2019四川成都二模,理21)已知函数f(x)=ln x+a

-1,a∈R.

(1)若f(x)≥0,求实数a取值的集合;

(2)证明:ex+

2

≥2-ln x+x+(e-2)x.

5.设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<-

(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.

6.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2

有两个零点.(1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

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7.(2019天津卷,理20)设函数f(x)=excos x,g(x)为f(x)的导函数. (1)求f(x)的单调区间;

(2)当x∈

2

时,证明f(x)+g(x)

2

-x≥0;

(3)设x n为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+ ,2nπ+2内的零点,其中n∈N,证明2nπ+

2-x -2 n< 0- .

0

参考答案

专题突破练9 利用导数证明问

题及讨论零点个数

1.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x-( x>0). 当a≤0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点, 当a>0时,因为e2x单调递增,-单调递增 , 所以f'(x)在(0,+∞)单调递增.

又f'(a)>0,当b满足0

且b< 时,f'(b)<0,故当a>0时,f'(x)存在唯一零点.

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