基于MATLAB的离散数据最小二乘拟合

第３０卷增刊

、，０１．３０

Ｓｕｐｐｌ

文章编号：１００８．０５６２（２０１１）增刊Ｉ－０２０２．０３

辽宁工程技术大学学报（自然科学版）

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬｉａｏｎｉｎｇＴｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｔｗａｌＳｃｉｅｎｃｅ）

２０１１年５月

Ｍａｖ

２０１１

基于ＭＡＴＬＡＢ的离散数据最ｄ＇－－乘拟合

李丽丹

Ｃ辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新１２３０００）

摘要：针对科学与工程计算中常见的实验数据拟合问题，基于ＭＡＴＬＡＢ数学软件，利用最ｄ＇－乘原理，确定变量之间的函数关系。通过几个案例分析，实验研究得出结论：基于ＭＡＴＬＡＢ的最小二乘拟合方法简单、容易实现、工程应用广泛。

关键词：最小二乘法；ＭＡＴＬＡＢ中图分类号：Ｏ

２４１．２

曲线拟合；多项式拟合；最佳平方逼近文献标识码：Ａ

ｏｎ

Ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｆｉｔｔｉｎｇｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｄａｔａｂａｓｅｄ

ＬＩＬｉｄａｎ

ＭＡＴＬＡＢ

（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＬｉａｏｎｉｎｇＴｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｘｉｎ１２３０００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｖｉｅｗｏｆｃｏｍｍｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａｆｉｔｔｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎ

ｓｃｉｅｎｃｅａｎｄｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ，

ＭＡＴＬＡＢｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ

ｓｏｆｔｗａｒｅ

ａｎｄ ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｐｒｉｎｃｉｐｌｅｗｅｒｅａｄｏｐｔｅｄｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎ

ｏｎ

ｂｅｔｗｅｅｎｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｃａｓｅａｎａｌｙｓｉｓｓｈｏｗｔｈａｔｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｆｉｔｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｒｅａｌｉｚｅｄ

ＭＡＴＬＡＢｉｓｓｉｍｐｌｅ，ｅａｓｉｌｙ

ａｎｄｔｈｅｒｅｆｏｒｅｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｍｅｔｈｏｄ；ＭＡＴＬＡＢ；ｃｕｒｖｅｆｉｔｔｉｎｇ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｉｔｔｉｎｇ；ｂｅｓｔｓｑｕａｒｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ

０

引

在科学技术的各领域中，不同变量之间的相互

式中，ｐ（而）为点墨处的权函数，上述最佳平方逼

近曲线拟合方法称为最ｄ，－－乘法，而Ｓ（ｘ）ＵＰ为所要找的函数关系。

当基函数缈，（功＝ＸＪ。，（，＝０，１，…，栉）时，称拟合问题为多项式拟合，多项式拟合是最简单且常用的方法。

关系通常用函数描述。有些函数关系可由经典理论分析推导得出，不仅为进一步的分析研究工作提供理论基础，也可以方便的解决实际工程问题。但是，很多工程问题难以直接推导出变量之间的函数表达式，或者即使能得出表达式，公式也十分复杂，不利于进一步的分析与计算。由于研究需要，希望能得到这些变量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合方法，用已知的实验数据结合数学方法得到变量之间的近似函数表达式。而在处理实验数据时，常用的是最小二乘法【ＩｑＪ。

２最小二乘拟合的应用

给出几个利用最小二乘法解决实际问题的应用案例，求解过程基于数学平台ＭＡＴＬＡＢ。

案例一某建材公司有一大批水泥需要出售，根据以往统计资料，零售价增高，则销售量减少，具体数据如表１；如果作广告，可使销售量增加，具体增加量以售量提高因子ｋ表示，ｋ与广告费关系见表２。已知水泥的进价是２５０元／ｔ，那么如何确定这批水泥的价格和广告费，才能使该公司的获利最大。

表Ｉ水泥预期销售量与价格关系

Ｔａｂ．Ｉ

ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｃｅｍｅｎｔ∞叩ｅｃｔｅｄｓａｌｅｓａｎｄｐｒｉｃｅｓ

２６０

２７０１７６

２８０１５０

２９０１３９

３００１２５

３１０１１０

３２０１００

１最小二乘原理

如何通过一组观测实验数据

（椎，Ｙｔ）（七＝１，２，…，历）

确定Ｙ与ｘ的关系Ｙ＝厂（ｘ），通常采用最佳平方逼近，即在①＝ｓｐａｎ｛ＣＰｏ（Ｘ），伊ｌ（ｘ），…纯（ｘ））中寻找

／（ｘ）的逼近函数．鼬），使

∑ｐ（ｘ，）【厂（墨）一Ｓ（ｘ川２＝ｍｉｎ

单价，（元 ｆ１）２５０售量／万ｔ

２００

１９０

收稿日期：２０１１．０３．０５

作者简介：李丽丹（１９８０－），大连庄河人，讲师，主要从事计算数学理论与应用方面的研究。本文编校：曾繁慧

万方数据

增刊李丽丹：基于ＭＡＴＬＡＢ的离散数据最小二乘拟合

２０３

裹２售量提高因子与广告费关系

Ｔａｂ．２

ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｓａｌｅｓｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｆａｃｔｏｒａｎｄ

ａｄｖｅｒｔｉｓｅｍｅｎｔｆｅｅｓ

用ｘ，ｙ，ｚ和ｃ分别表示销售单价、预期销售量、广告费和成本单价。表１与表２的数据如图１、图２。

２００ｒ

ｌ

●

１８０｝

＿

Ｒ

１６０ｒ

删独

。２０【

。∞Ｌ———。———．————。———．———．———』Ｌ

１

＿

№１

函

恒１掣

ｌ

０１００２００３００４００５００

广告费／万元

图２销售提高因子与广告费关系

Ｆｉｇ．２

ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ

ｂｅｔｗｅｅｌｌｓａｌｅｓｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｆａｃｔｏｒａｎｄａｄｖｅｒｔｉｓｅｍｅｎｔｆｅｅｓ

由图ｌ中可知售量与单价近似呈线性关系，因此可设

Ｙ＝ａ＋缸

用最小二乘法解得

ｙ＝５７７．６０７ｌ－１．５０４８ｘ

（１）

由图２可知提高因子与广告费近似成二次关系，因此可设

ｋ＝ｄ＋ｅｚ＋， ｚ２

（２）

用最小二乘法解得

七＝．１．１８２ｘ１０－５＋Ｏ．００６８ｚ．１．１８２ｆｘｌＯ－５２２

设销售量为ｓ，它等于预期销售量乘以提高因子，即ｓ－－－砂。于是利润Ｐ可以表示为

卢收入．广告费＝销售收入．成本支出．广告费＝

万方数据

＆一＆一ｚ＝砂（Ｘ—Ｃ）－ｚ

（３）

将式（１）、式（２）代入式（３），ｃ＇＝２５０，可知Ｐ只是ｘ和

ｚ的函数，即

ｍ孑户ｑ切ｔ归‘）（Ｉ口均哟∽ｋ

为求出最大利润，需要利用函数求极值的方法，令

娑＝ｏ，＿０ｔ＂＝ｏ，则得

Ｏｘｄ２

芒：＿＋留啦：№－６ｃ＋２ｂｘ）

ｊ３Ｐ一：（Ｐ＋２启）（口＋Ｍ（膏一ｃ）一１

当ｂ出Ｐ＝ｏ时，得ｚ。＝去（６ｃ一力＝３１６．９３

ｏ

再由蝥：ｏ，可得

犷专［丽ｂ—ｐ２捌

进一步求Ｐ（工，ｚ）在点（Ｘ０＂，Ｚｏ）的二阶导数，得

萨２拍（ｄ＋器＋乒２）＝。６１７２４＜ｏ

ａ２Ｐ

塞吡啡）（口圳（一）＝

＿４．６２１５ｅ－００６＝０

ａＰ

：■了２２ｆ（ａ＋幻０（ｘ—ｃ）＝－－０１５０７＜０

ｄｚ‘

根据多元函数极值的充分条件知，在点（Ｘ０Ｚｏ）利润Ｐ取得最大值Ｐ（Ｘｏ，‰）＝１３２０９．６元。

因此，将单价定为３１６．９３元／ｔ，花广告费２８２．２１万元，实际销售量可达到２０１．５８万ｔ，可获利润１３２０９．６万元。

对于可线性化的非线性逼近函数问题，也可利用最４＇－乘法求解。

案例二

炼钢厂的钢水包在使用过程中，由

于钢液及炉渣对耐火材料的浸蚀，使其容积不断增大，经过多次实验与统计，得到钢包容积与相应的

！坚

里！兰堡垫查垄芏堂哩（自然科学版）

第３０卷

使川次数多组数据，如图３

●

●

●

●

●

●

●

竹Ⅲ至言耐蹲

２

４

ｂ

８

０

２

ｉ４

６

Ｉ＃

２０

ⅫⅧａｍ

罔３任用次数与铡包窖祝的关系

Ｆｉｇ３

ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｌｗｅｅｎｕｓｅｌｉｍｅｓａｎｄｌａｄｌｅｖｏｌｕｍｅ

由圈３＿Ｊ知．散点小能近似成直线，仉可看Ｈ｛增眭的趋辨丌始变化较快，然后逐渐变慢，因此考虑烈曲线形式的ｉｎｌｌ）ｌ方程

——…ａ

ｂ

Ｙ

ｘ

令‘＝Ｉ／Ｔ，Ｙ．＝１ｌｙｒ

ＭＡＴＬＡＢ｛钊｝汁算得线

性Ａ槲Ｈ＝Ｏ００９＋８１８６７ｘ１０

４ｘＩ

则原方程为

】】一＝０００９＋８１８６７ｅ．００４二

ｙ

ｘ，｝’方面，也可考虑对数函数曲线

Ｙ＝ａ＋ｂｌｏｇ（ｘ）

令ｘ：＝ｌｏｇ（ｘ），｛＇ＪｆＨＭＡＴＬＡＢ程序¨算得线性打栏

Ｙ２＝１０６３１４７＋ｌ

７１４Ｉｏｇ（ｘ、

利用ＭＡＴＬＡＢ面出两个拟合蛹数札再点的误差、Ｆ力条形ｌ矧，如图４。训箅程序如ｒ：

；ｊＬ铷Ｌ～

圈４荏箍比较

Ｆｉｇ

４…ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ

万方数据

Ｆｆ２

３４５７８１０１１１４１５１６１８１９１；

ｙ－『１０６４２

１０８２０

１０９５８

１０９５

１ｌＯ００

１０９９３

１１０４９１１０５９１１０６０１１０９１１０７６１１１ＩＩｌ２１；

ｙｌ＝ｘ／（０

００９＋什８

１８６７ｅ一００４）；

ｙ２＝１０６３１４７＋１７１４０＋ｌｏｇ（ｘ）；

ｓｕｂｐｌｏｔ（Ｉ，２，１）；ｂａｒ（ｘ，（ｙ—Ｙ１）“２）：

ｓｕｂｐｌｏｔ（Ｉ，２，２）；ｂａｒ（ｘ，（ｙ—ｙ２）“２），

由慢麓蚓４ｕＪ知，双曲跌Ｚ波动幅度没十Ｉ埘数洪差人，误芹、ｌ’方和分别为

ｓｕｍ（眇＂Ｙ１）“２）＝２４８４２ｓｕｍ（（ｖ－Ｙ２）“２）＝２

６０２２

所以，』剞烈曲线逍近比爿Ｊ对数逼近效粜¨。

案例３刘ｒｉ．程汁算Ｉｌ，常见的多变４１｝ｌｌｌｊ题，蚓样可以利』ＩＩ最小二乘法辅助建模求解。如Ｆ。维数据

卢【５８３６２４７８５９；７６９４８３７３２５１，Ｆ『９０

９５９５７０８５５５９５７５５５

９０１；

利州ＭＡＴＬＡＢ程序计算－得函数ｙ戈１：ｘ３，Ｊ±的最小一乘趟近闻数为

ｙ＝１９８９６６十３９８０７‘＋７０２Ｉ－

３结论

科学‘Ｉ１．程汁算ｃＩ一常常需要处理离散的宴验

数据，通过＝二个应什Ｊ案例，利Ⅲ最小：乘泄：拟☆数据．结介数学软，＇，１。ＭＡＴＬＡＢ辅助建模，使计算夫人简化。参考文献

ｉ］＃≈ｍｍ＊＊２』■ｎ【Ｍ】ｎｍ：ｎｍⅡ＾｛ｍ％“２００５

２１

ｔｎ

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２００５．１２（２）：５２ ５６

基于MATLAB的离散数据最小二乘拟合

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

李丽丹， LI Lidan

辽宁工程技术大学理学院,辽宁阜新,123000

辽宁工程技术大学学报(自然科学版)

JOURNAL OF LIAONING TECHNICAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2011,30(z1)

本文链接：http://www.77cn.com.cn/Periodical_lngcjsdxxb2011z1061.aspx

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