反比例函数知识点总结 (2)

变式1：a2?b2????a22?b2?6?0,则a2?b2? 。

?变式2：若?x?y??2?x?y??3?0，则x+y的值为 。

变式3：若x2?xy?y?14，y2?xy?x?28，则x+y的值为 。 例3、方程x2?x?6?0的解为（ ） A.x1??3，x2?2 B.x1?3，x2??2 C.x1?3，x2??3 D.x1?2，x2??2

针对练习： ★1、下列说法中：

①方程x2?px?q?0的二根为x1，x2，则x2?px?q?(x?x1)(x?x2) ② ?x2?6x?8?(x?2)(x?4). ③a2?5ab?6b2?(a?2)(a?3) ④ x2?y2?(x?y)(x?y)(x?y)

⑤方程(3x?1)2?7?0可变形为(3x?1?7)(3x?1?7)?0 正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以1?7与1?7为根的一元二次方程是（） A．x?2x?6?0 B．x?2x?6?0 C．y?2y?6?0

222 D．y?2y?6?0

2★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x、y满足?x?y?3??x?y??2?0，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 5、方程：x?21?2的解是 。 2x22b?b2?4ac?类型三、配方法ax?bx?c?0?a?0???x? ??22a?4a?※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。 典型例题： 例1、 试用配方法说明x?2x?3的值恒大于0。

2

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2?y2?2x?4y?7的最小值。

例3、 已知x2?y2?4x?6y?13?0，x、y为实数，求x的值。

例4、 分解因式：4x?12x?3 针对练习： ★★1、试用配方法说明?10x?7x?4的值恒小于0。 ★★2、已知x?2y22111?x??4?0x?? . ，则2xxx★★★3、若t?2??3x2?12x?9，则t的最大值为 ，最小值为 。 类型四、公式法 ⑴条件：a?0,且b2?4ac?0

???b?b2?4ac⑵公式： x?,a?0,且b2?4ac?0

2a??典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程：

⑴3?1?x??6. ⑵?x?3??x?6???8. ⑶x?4x?1?0

22

⑷3x?4x?1?0 ⑸3?x?1??3x?1???x?1??2x?5?

2

例2、在实数范围内分解因式：

22（1）x?22x?3； （2）?4x?8x?1. ⑶2x?4xy?5y

222说明：①对于二次三项式ax?bx?c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax?bx?c=0，求出两根，再写成

2ax2?bx?c=a(x?x1)(x?x2).

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用 ⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。 典型例题： 例1、 已知x

例2、如果x?x?1?0，那么代数式x?2x?7的值。

23223?x?1??x2?1?3x?2?0，求代数式的值。

x?1a3?2a2?5a?1例3、已知a是一元二次方程x?3x?1?0的一根，求的值。 2a?12

例4、用两种不同的方法解方程组

?2x?y?6,?22?x?5xy?6y?0.(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.

考点四、根的判别式b?4ac 根的判别式的作用： ①定根的个数； ②求待定系数的值； ③应用于其它。 典型例题： 例1、若关于x的方程x?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。 例2、关于x的方程?m?1?x?2mx?m?0有实数根，则m的取值范围是( )

222A.m?0且m?1 B.m?0 C.m?1 D.m?1 例3、已知关于x的方程x??k?2?x?2k?0

2(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰?ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x?(m?6)x?m?2是一个完全平方式，试求m的值.

2

?x2?2y2?6,例5、m为何值时，方程组?有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

?mx?y?3.

针对练习： ★1、当k 时，关于x的二次三项式x?kx?9是完全平方式。

★2、当k取何值时，多项式3x?4x?2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ ★3、已知方程mx?mx?2?0有两个不相等的实数根，则m的值是 . 222?y?kx?2,★★4、k为何值时，方程组?2

?y?4x?2y?1?0.（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.

★ ★★5、当k取何值时，方程x?4mx?4x?3m?2m?4k?0的根与m均为有理数？ 考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题： 例1、关于x的方程?m?1?x?2mx?3?0

222⑴有两个实数根，则m为 , ⑵只有一个根，则m为 。

例2、 不解方程，判断关于x的方程x?2?x?k??k??3根的情况。

22

例3、如果关于x的方程x?kx?2?0及方程x?x?2k?0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。 考点六、应用解答题 ⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；

22⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少

1，第三年比第二年减少31，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，21还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，

313?3.61）

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元， 销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度. 考点七、根与系数的关系 2⑴前提：对于ax?bx?c?0而言，当满足①a?0、②??0时，

才能用韦达定理。 ⑵主要内容：x1?x2??bc,x1x2? aa⑶应用：整体代入求值。

典型例题： 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x?8x?7?0的两根，则这个直角三

2角形的斜边是（ ）

A.3 B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x的方程k2x2??2k?1?x?1?0有两个不相等的实数根x1,x2，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不 存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错 常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

22例4、已知a?b，a?2a?1?0，b?2b?1?0，求a?b?

变式：若a?2a?1?0，b?2b?1?0，则

222ab?的值为 。 ba例5、已知?,?是方程x?x?1?0的两个根，那么?4?3?? . 针对练习： 1、解方程组??x?y?3,22(1)?x?y?5(2)2

2．已知a?7a??4，b?7b??4(a?b)，求

22ba的值。 ?ab323、已知x1,x2是方程x?x?9?0的两实数根，求x1?7x2?3x2?66的值。

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