反比例函数知识点总结

2015年九年级数学复习资料 第一章 反比例函数

【基础知识】

一、反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为这一限制条件；

，

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式

中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．

二、反比例函数的图像画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x?0，函数值

y?0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但

永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 三、反比例函数及其图像的性质

1．函数解析式：（

）

2．自变量的取值范围： 3．图像：

（1）图像的形状：双曲线，像的 弯曲度越大。 （2）图像的位置和性质： 当当

越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。 越小，图

时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。

，

）

（3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（在双曲线的另一支。图像关于直线）和（

，

对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，

）在双曲线的另一支上。．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴

于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨

论，不能一概而论。

（2）直线 当

与双曲线的关系：

时，两图像必有两个交点，且这两个交

时，两图像没有交点；当

点关于原点成中心对称． 四、实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式。

2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． 五、充分利用数形结合的思想解决问题

第二章 一元二次方程

一、知识结构： ?解与解法?一元二次方程??根的判别

?韦达定理??二、考点精析 考点一、概念 ①②③

(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程就是一元二．．．．．．．．．．．．．．．．．2．．．．．次方程。

(2)一般表达式：ax?bx?c?0(a?0)

2⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A 3?x?1??2?x?1? B

211??2?0 x2x22C ax?bx?c?0

2

2D x?2x?x?1

2变式：当k 时，关于x的方程kx?2x?x?3是一元二次方程。 例2、方程?m?2?x针对练习： ★1、方程8x?7的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程?m?2?xm?12m ?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

?0是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程?m?1?x2?m?x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。 ★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）

A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知2y?y?3的值为2，则4y?2y?1的值为 。

例2、关于x的一元二次方程?a?2?x?x?a?4?0的一个根为0，则a的值为 。

222例3、已知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的系数满足a?c?b，则此方程

22必有一根为 。

2例4、已知a,b是方程x?4x?m?0的两个根，b,c是方程y?8y?5m?0的两个根，

2则m的值为 。 针对练习： ★1、已知方程x?kx?10?0的一根是2，则k为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x的方程x?kx?2?0的一个解与方程⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

22x?1?3的解相同。 x?1

★3、已知m是方程x?x?1?0的一个根，则代数式m?m? 。 ★★4、已知a是x?3x?1?0的根，则2a?6a? 。 ★★5、方程?a?b?x2??b?c?x?c?a?0的一个根为（ ）

A ?1 B 1 C b?c D ?a

2222★★★6、若2x?5y?3?0,则4x?32y? 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：x2?m?m?0?,?x??m

※※对于?x?a??m，?ax?m???bx?n?等形式均适用直接开方法

222典型例题： 例1、解方程：?1?2x2?8?0; ?2?25?16x2=0; ?3??1?x??9?0;

2

例2、若9?x?1??16?x?2?，则x的值为 。

22针对练习：下列方程无解的是（ ）

A.x?3?2x?1 B.?x?2??0 C.2x?3?1?x D.x?9?0

2222

类型二、因式分解法:?x?x1??x?x2??0?x?x1,或x?x2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如?ax?m???bx?n?，?x?a??x?b???x?a??x?c? ，

22x2?2ax?a2?0

典型例题： 例1、2x?x?3??5?x?3?的根为（ ）

A x?552 B x?3 C x1?,x2?3 D x? 2252例2、若?4x?y??3?4x?y??4?0，则4x+y的值为 。

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