1.2.3同角三角函数的基本关系（第2课时）

一、学习目标：

1. 理解正弦、余弦的诱导公式二、三、四的推导过程；

2. 掌握公式二、三、四，并会正确运用公式进行有关计算、化简；

3. 了解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。使用说明：

二．复习引入： 1.复习：

(1)利用单位圆表示任意角?的正弦值和余弦值：P(x,y)为角?的终边与单位圆

的交点，则 sin??y，cos??x；

(2)由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数相等．

sin(??2k?)?sin?即有cos(??2k?)?cos?(k?Z),(k?Z),(k?Z), (公式一）tan(??2k?)?tan?2．引入：

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？ 三、新课探究：

如果角?的终边与角?的终边关于x轴对称，那么?与?的三角函数值之间有什么关系？

设角?，?的终边分别与单位圆交于点P，P，则点P和点P关于x轴对称（如图）．又根据三角函数的定义，点P的坐标是(co?s,s?in，点P的坐标是(cos?,sin?)．故有sin???sin?,cos??cos?． 由同角三角函数关系得tan??特别地，角

'''角?的终边 yP sin??sin????tan?． cos?cos?Ox ??与角?的终边关于x轴对称，故有

P' sin(??)??sin?， cos(??)?cos?，(公式二）角?的终边 tan(??)??tan?.如果角?的终边与角?的终边关于y轴对称，或是关于原点对称，那么?与?的三角

函数值之间有什么关系？ *三角函数的诱导公式： (1) 公式一：

sin(??2k?)?sin?,cos(??2k?)?cos?，tan(??2k?)?tan?(k?Z), (2)公式二：sin(???)??sin?，cos(???)??cos?，tan(???)?tan?. (3)公式三：sin(??)??sin?，cos(??)?cos?，tan(??)??tan?. (4)公式四：sin(???)?sin?，cos(???)??cos?，tan(???)??tan?.

说明：①公式中的?指使公式两边有意义的任意一个角；

②若?是角度制，同样成立,如sin(1800??)??sin?，cos(180???)??cos?；

③公式特点：函数名不变，符号看象限；

四．典型例题：xkb1.com 例1．求下列三角函数值：

43?)； （3）tan(?1560?)． 6?????0,3600,360分析：先将不是?范围内角的三角函数，转化为??范围内的角的??（1）sin960?； （2）cos(?三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到

????0,90??范围内角的三角函数的值。 解：（1）sin960??sin(960??720?)?sin240?（诱导公式一）

?sin(180??60?)??sin60?（诱导公式二）??（2）cos(?3． 243?43?7?7?)?cos（诱导公式三）?cos(?6?)?cos 6666??3（诱导公式一）?cos(??)??cos（诱导公式二）??．

662（3）tan(?1560?)??tan1560?(公式二）??tan(4?360??120?)

??tan120?(公式一）??tan(180??60?)?tan60(公式三）?3?

小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

??0,360②化大于360?的正角的三角函数为??内的三角函数； ???0,360③化??内的三角函数为锐角的三角函数． ?可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．

例2．判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)?1?cosx； （2）g(x)?x?sinx．

解 （1）因为函数f(x)的定义域是R，且f(?x)?1?cos(?x)?1?cosx?f(x)， 所以f(x)是偶函数．

（2）因为函数g(x)的定义域是R，且

g(?x)??x?sin(?x)??x?(?sinx)??(x?sinx)??g(x)， 所以g(x)是奇函数．

说明：公式二可直接对应三角函数的奇偶性．

sin(??n?)?sin(??n?)(n?Z)．

sin(??n?)cos(??n?)解：①当n?2k,k?Z时，

sin(??2k?)?sin(??2k?)2?原式?．

sin(??2k?)cos(??2k?)cos?②当n?2k?1,k?Z时，

sin[??(2k?1)?]?sin[??(2k?1)?]2??原式?．

sin[??(2k?1)?]cos[??(2k?1)?]cos?例3．化简

说明：关键抓住题中的整数n是表示?的整数倍与公式一中的整数k有区别，所

以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．

五．回顾小结：

1．熟练运用公式化简、求值及证明；

2．用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤； 3．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题． 六．课外作业： 1．化简：

?sin(180???)?sin(??)?tan(360???)（1）； ??tan(??180)?cos(??)?cos(180??)????（2）sin(??)sin(2??)sin(3??)?sin(102??)；

6666sin(n???)cos(n???)（3）．

cos[(n?1)???]32．已知sin???，且?是第四象限角，求tan?[cos(3???)?sin(5???)]的值

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