南邮2013MATLAB数学实验答案（全） (5)

x0=input('x0='); for i=1:20; x0=f(x0);

fprintf('%g %g\\n',i,x0); end

结果：初值取-1.1，-1，-0.9,-0.8，0.7时收敛到-1，初值取-0.7,0.8,0.9，1,1.1时收敛到1，初值取-0.6，-0.5，。。。，0.5,0.6时收敛到0；

,3）在(??,?22),(?21/721/7),(22,?)?中分别取初值，最后分别收敛到

-1,1,0；在(21/7,2/2)内有无穷多个收敛到-1的初值小开区间，也有无穷多个收敛到0的小开区间，它们相互交替着；这种状态反射到

(?2/2,?21/7)内，即：在(?2/2,?21/7)内有无穷多个收敛到1的

初值小开区间，也有无穷多个收敛到0的小开区间，它们也是相互交替着，这些小区间与(21/7,2/2)内小开区间对应。

二、1.三次曲线

(a)对k=0及其邻近的k的正值和负值，把f(x)?x?kx的图形画在一个公共屏幕上。

k的值是怎样影响到图形的形状的？

(b)求f?(x)，它是一个二次函数。求该二次函数的判别式，对什么样的k值，该判别

式为正？为零？为负？对什么k值f?有两个零点？一个或没有零点？现在请说明k的值对f 图形的形状有什么影响。

(c)对其他的k值做实验。当k???会发生什么情形？当k??呢？ 解答： (a)

x=-3:0.01:3; y1=x.^3-0.6*x; y2=x.^3-0.3*x; y3=x.^3;

y4=x.^3+0.3*x; y5=x.^3+3*x;

plot(x,y1,'y',x,y2,'m',x,y3,x,y4,'r',x,y5,'g') grid on

title('综合题第二、1题') 得下图

3综合题第二、1题403020100-10-20-30-40 -3y1 :k=-0.6y2 :k=-0.3y3 :k=0y4 :k=0.3y5 :k=3 -2-10123

可见k值不影响凹凸性，但单调性、单调区间以及极值随k值发生改变；k在0附

近，小于0时，函数在某[-a,a]区间上单调递减，该区间长度随着k值增大而减小，k大于等于0时，函数单调增加。 (b) f?(x)?3x?k；判别式???12k，k为负、零、正时判别式分别为正、零、负；

故k<0时，f?(x)有两个零点，k=0时f?(x)有一个零点，k>0时f?(x)没有零点。

以上说明原函数f(x)的驻点个数随着k值符号而变化，当k由负变正时，驻点由两个变成一个再到没有驻点，相应的单调区间由三个变成一个，单增单减单增，变为单增。

(c) k值越小单减区间长度越大，当k???时，f(x)单减区间变为无穷大对称区间，图形近乎垂直直线；当k??时，单增区间变为无穷大对称区间，图形近乎垂直直线。 2.四次曲线

(a)对k=-4及其邻近的k值，把f(x)?x?kx?6x,?1?x?4的图形画在一个公共屏幕上。k的值是怎样影响到图形的形状的？

(b)求f??(x)，它是一个二次函数。求该二次函数的判别式，对什么样的k值，该判别式为

正？为零？为负？对什么k值f??有两个零点？一个或没有零点？现在请说明k的值对f 图形的形状有什么影响。

解答：

（a）x=-1:0.01:4;

y1=x.^4-5*x.^3+6*x.^2; y2=x.^4-4.5*x.^3+6*x.^2; y3=x.^4-4*x.^3+6*x.^2; y4=x.^4-3.5*x.^3+6*x.^2; y5=x.^4-2.5*x.^3+6*x.^2; y6=x.^4+4*x.^3+6*x.^2;

4322plot(x,y1,'y',x,y2,'m',x,y3) hold on

plot(x,y4,'r',x,y5,'g',x,y6,'k') grid on

title('综合题第二、2题') 得下图：

综合题第二、2题7006005004003002001000-100 -1y1 :y=-5y2 :y=-4.5y3 :y=-4y4 :y=-3.5y5 :k=-2.5y6 :k=4 -0.500.511.522.533.54

由图可以看出，在x<1时，图形受k值影响不大，x>1时k值对图形的影响比较显著，通过改变k值画图发现：在-4附近，k小于-4时，曲线在某[a,b](a>0)区间内是上凸的，在其他区间内上凹；k大于-4时，上面的凸区间不存在，也就是曲线总是上凹的。 (b) f??(x)?12x?6kx?12，判别式??36k?576?36(k?4)，当k??4时，

判别式为0，也就是|k|?4时f??(x)|k|?4时判别式大于0，|k|?4时判别式小于0；有两个零点，k??4时f??(x)有一个零点|k|?4时f??(x)没有零点。由二阶导数与凹凸性的关系可知，在k=-4附近，（a）中关于曲线凹凸的判断基本上是正确的 三、对于级数

22221，通过下面的步骤探索它的行为 ?32n?1nsinn1，当你试图求limsk时，发生了什么？ ?32k??nsinnn?1k?1. 对于其部分和数列sk?解答：用命令sk=symsum(1/n^3/(sin(n))^2,1,k)及limit(sk,k,inf)得不到结果，命令

symsum(1/n^3/(sin(n))^2,1,inf)也得不到结果。这表明极限可能并不存在。 2. 画出部分和数列的前100个点(k,sk)，它们是否显示出收敛？你估计极限是多少？

解答：前100个点(k,sk)图形如下

54.543.532.521.510102030405060708090100

上图似乎显示着sk的极限存在，并且极限值约为4.8左右

3. 接着画出部分和数列的前200个点(k,sk)，用你自己的话论述部分和数列的行为。

54.543.532.521.51020406080100120140160180200

此图可以更加确定，部分和数列sk的极限是存在的，结论跟2中的一样

4. 画出前400个点(k,sk)，当k＝355时发生了什么？计算数355/113，通过你的计算解

释当k＝355时发生了什么。你猜测对k的什么值同一现象可能还会出现，并通过实验加以验证。

302520151050050100150200250300350400

解答：

此图否定了2与3的推断，因为部分和数列在k＝355时发生了跳跃；355/113=3.141592920353983近似等于圆周率?(约为3.141592653589793)，也就是355?113?，而sin113?=0，因此sin335的值很小，对应于部分和sk，在k＝355时由于分母很小因而得到一个很大的加项，于是图形上的点发生了跳跃。我们可以通过观察或计算?的倍数来获得sk的比较大的加项，由于710=355*2?226?，因此sk在k＝710时也会发生跳跃；我们也可直接由命令(1:500)*pi观察1500以内的数哪些接近?的倍数（此略）。

另外，由?的各种分数表示（近似）可知，以上的部分和sk在k=22时也会发生跳跃，因为??22355。同上，当k=44,66,88,110,132等等时，sk也会发生跳?7113跃，但由于误差扩大，跳跃幅度相对应该比较小。

四、通过本课程学习，谈谈你开设对这门课的认识，对教学以及上机实验提出自己的和建议。

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