9平衡态与分子热运动的统计规律习题思考题

习题9

9-1．在容积V?3L的容器中盛有理想气体，气体密度为?=1.3g/L。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。 解：根据题意，可知：P?1.78atm，P0?1atm，V?3L。

PV?1.78?3L， P0那么，逃出的气体在1atm下体积为：V'?1.78?3L?3L?0.78L，

PV'0.78?3L这部分气体在1.78atm下体积为：V''?0?

P1.78g0.78?3L?1.7g 。 则排除的气体的质量为：?m??V''?1.3?L1.78m1VpRT，RT?p? 根据题意pV??RT，可得：pV?MMm?由于温度不变，∴PV?PV00，有：V0?

9-2．有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中的一边装有0.1kg某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边装入的同一温度的氧气质量为多少？

解：平衡时，两边氢、氧气体的压强、体积、温度相同，利用pV??RT，知两气体摩尔数相同，即：?H??O，∴

mmH?O，代入数据有：mO?1.6kg 。 MHMO

9-3．如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，则氮气的温度应是多少？ 解：已知氮气和氧气质量相同，水银滴停留在管的正中央，

O2N2则体积和压强相同，如图。

mO2mN2m由：pV?R(T?30)?RT， RT，有：

MmolMO2MN2而：MO2?0.032kg，MN2?0.028kg，可得：T?30?28?210K 。

30?28

79-4．高压氧瓶：p?1.3?10Pa，V?30L，每天用p1?1.0?105Pa，

V1?400L，为保证瓶内p'?1.0?106Pa，能用几天？

pV1.3?107Pa?30L解：由pV?p'V'，可得：V'???390L， 6p'1.0?10Pa∴?V?V'?V?360L；

p'?V1.0?106Pa?360L而：p'?V?p1?V1，有：?V1???3600L，

p1.0?105Pa3600L?9天 。 那么：能用的天数为n?400L/天

9-5．如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为p0的大气中。在封闭端加热达T1?1000K，另一端保持T2?200K，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到100K，求管内压强。

解：根据题意，管子一端T1?1000K，另一端保持T2?200K， 所以，温度沿管长线性分布，设管长为l，函数关系为：

T(x)?200?kx，其中：k?由公式：pV?800。 ldmm RT，考虑到金属管上端开口，有：p0Sdx?RT(x)，

MmolMmollpSlpSm10∴R??dl?p0S?dx?0ln200?kxl0

0T0200?kxMmol（）kpS?l200?800p0V?0ln?ln5

k?l200800m00K，当封闭开口端，并使管子冷却到100K时，有p'V?而T'?1 RT' ，

Mmolp再考虑到管子封闭前后的m不变，有：p'?0ln5 。

823?249-6．氢分子的质量为3.3?10g，如果每秒有10个氢分子沿着与容器器壁的

法线成45角的方向以10cm/s的速率撞击在2.0cm面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？

解：由：F??t?n?2mvcos450，再根据气体压强公式：p??52F，有： Sp?Fn?2mvcos45???t?SS01023?2?3.3?10?27?103?1?2?10?422?2.33?103Pa 。

9-7．一容器内储有氧气，其压强p?1.0atm，温度T?300K，求容器内氧气的

（1）分子数密度；

（2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：（1）由气体状态方程p?nkT得：

p1.013?105253n???2.45?10/m； ?23kT1.38?10?300（2）分子间的平均距离可近似计算：e?11?9??3.44?10m； 3325n2.45?10（3）分子的平均平动动能：??（4）分子的方均根速度：v?233kT??1.38?10?23?300?6.21?10?21J； 223RT?483.44m/s 。 Mmol9-8．在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比V1/V2?1/2，则其内能之比E1/E2为多少？

p1V1?1T1，因题设条件为p1?p2，V1/V2?1/2，?p2V2?2T2i5可得：?1T1/?2T2?1/2，又∵氦气是单原子分子，知：1?，

i23i1?1RT1515E1那么内能之比为：?2??? 。

iE22?2RT23262解：根据pV??RT，有：

9-9．水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即H2O→H2+0.5O2，内能增加了多少？ 解：水蒸气分解后，一份的水分子的内能变成了1.5份的双原子的内能，而水分子的自由度为6，氢气和氧气作为刚性双原子分子，其自由度均为5，利用气体内能公式：E??iRT，所以内能的变化为：2556RT?0.5?RT?RT?E21.522???25% 。

6E06RT29-10．体积为20L的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm，此时氧气的内能为多少？

5解：由理想气体状态方程：pV??RT，以及双原子气体内能公式：E??RT，

2555可得到：E??RT?pV??2?1.013?105?20?10?3?104J 。

222

9-11．已知某种理想气体，其分子方均根率为400m/s，当其压强为1atm时，求气体的密度。 解： ∵??2m?mp， ，由气体方程：pV?RT???VRT?3p3?1.013?1053kT3RT3??1.9kg/m又∵v?，∴??。 ?222400m?(v)

9-12．容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分，A内储有1mol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气体，A、B两部分的压强均为p0。

（1）求A、B两部分气体各自的内能；

（2）现抽出绝热板C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。

iRT 2333A中气体为1mol单原子理想气体：EA?RTA?RTA?p0V0，

22255B中气体为2mol双原子理想气体：EB?2?RTB?5RTB?p0V0；

2235（2）混合前总内能：，E0?P0V0?P0V0?4P0V0

223混合后内能不变，设温度为T，有：E?RT?5RT?4p0V0

28p0V03N08pV1233kT?RT?R?00?p ∴ T?；p?nkT?2V02V02V013R13013R解：（1）由理想气体内能公式：E??9-13．金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为 vm，电子速率在v~v?dv之间

?Av2dv 0?v?v0dN???的概率为：，式中A为常数．则电子的平均速率为N v?vm??0多少？

解：由平均速率的定义：v?有：v???0vf(v)dv，考虑到：f(v)dv?dN， N?vm0v?Av2dv?14Avm 。 4

9-14．大量粒子（N0?7.2?1010个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于30m/s的分子数约为多少？（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少？（3）所有N0个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？ 解：根据图像信息，注意到f(v)?dN。 Ndv图形所围的面积为分子的全部数目，有：

N0?1，所以，利用 ?N014（30?120）?a?1，有：a??10?2，N0a?9.6?108。 23N10（1）速率小于30m/s的分子数：N1?0?30?a?1.44?10个；

2（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数：

101101v?N2?N0?f(v)dv?N0?(2a?a)dv?6.4?108个；

999960v1005a)(v101?v99)?2N0a(2?)?6.4?108】 【或：?N2?N0(2a?603（3）所有N0个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： f(v)dv?

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