2012年全国初中数学竞赛试题及答案河南区 已用

2012年全国（河南区）初中数学竞赛预赛试题

一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A）2,3,1 （B）2,2,1 （C）1,2,1 （D）2,3,2

CB2．已知一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】

（A）m??1 （B）m??1 （C）m?1 （D）m?1 3．如图，在⊙O中，CD?DA?AB，给出下列三个结论：（1）DC=AB；

ODA第3题图 （2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【 】

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】

（A）

1321 （B） （C） （D）

34325．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,0)，点B的坐标是(?3,?3)，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有

【 】

（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

6．已知二次函数y?2x?bx?1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【 】

2yABODCA'第9题图

12x?1 2122（C）y??4x?1 （D）y??x?1

4（A）y??2x?1 （B）y??2x二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）

7．若m?n?2，则2m?4mn?2n?1的值为 ． 8．方程

22112??的解是 ．

(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)3D N C 9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA?则点A?的坐标是 ．

10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，DE是以点A为圆心2为半径的

11圆弧，NB是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段44A 弧之间的阴影部分的面积为 ．

1

E M

第10题图

B 11．已知α、β是方程x?2x?1?0的两根，则?3?5??10的值为 ．

12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有 个．

三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）

13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？

14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是(5,0)、(3,2)，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是(0,3)，设直线PQ的解析式为

2y?kx?b．

（1）求k的取值范围；

（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线y?ax?5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．

2

2yPC QBOD Ax

15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是MN上一动点， BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．

（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；

（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形； （3）连结PQ，试说明3PQ2?OA2是定值．

3

2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南区）

1.【答】A．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．

2.【答】C．解：一次函数y?(m?1)x?(m?1)的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交

点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以??m?1?0, 解得m?1．

m?1?0.?3.【答】D．解：因为CD?AB，所以DC=AB；因为AD?AB，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：2(x?30?)?x?180?，解得x?80?．

4.【答】B．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是

42?. 635.【答】D．解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2=52?12?26，可得C1(0,26),C2(0,?26)，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得C3(0,1),C4(0,?7)，AB的中垂线交y轴于点C5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出C5(0,?y C1 C3 O B C4 A x C5 C2 17)． 66.【答】A．解：y?2x2?bx?1的顶点坐标是????b8?b,8?42?b?x??，设，?4?第5题图

b8?b28?b28?(?4x)2y???1?2x2． ，由x??得b??4x，所以y?48887.【答】7．解：2m?4mn?2n?1?2(m?n)?1?2?2?1?7． 8.【答】x1?0,x2??4．解：

2222111111?????

(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)x?1x?2x?2x?3?22112?，解得 x1?0,x2??4. ??.∴

(x?1)(x?3)3x?1x?3(x?1)(x?3)9.【答】(b?1,?a?1)．解：分别过点A、A?作x轴的垂线，垂足分别为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BA?D． 由于点A的坐标是(a,b)，所以OD?OB?BD?OB?AC?1?b，A?D?BC?a?1，所以点的A?坐标是(b?1,?a?1)．

10.【答】2．解：连接MN，显然将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等

于矩形AMND的面积，等于1?2?2．

11.【答】?2．解：∵α是方程x?2x?1?0的根，∴??1?2?．

4

22∴ ?3??2???(1?2?)????2?2???2(1?2?)?5??2，

又 ∵?????2,∴ ?3?5??10?(5??2)?5??10?5(???)?8=5?(?2)?8??2． 12.【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则4x?1≤145，解得x≤36，所以小朋友的人数最多有36个．

13.解：设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况：???2分

（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为2000?10x?y，依题意，得

2012?(2000?10x?y)?2?0?x?y，

整理，得 y?10?11x,2 x、y均为0 ~ 9的整数，∴x?0. 此时y?5.

∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．???????8分

（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为1900?10x?y，依题意，得

2012?(1900?10x?y)?1?9?x?y，

整理，得 11x?102?2y，故x为偶数，又y?∴ 7102?11x102?11x,0≤≤9, 227≤x≤9, ∴ x?8. 此时y?7.∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． ???14分 11综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．?????15分

14.解：（1）直线y?kx?b经过P(0,3)，∴ b?3．∵B(3,2)，A(5,0)，BD=BA，∴ 点D的坐标是(1,0)，∴ BD的解析式是y?x?1, 1≤x≤3.

依题意，得 ??y?x?1,441,∴ 1≤≤3.解得?3≤k≤?.??????7分 ，∴x?1?k1?k3?y?kx?3.13 （2）??3≤k≤?,且k为最大整数，∴k??1. 则直线PQ的解析式为y??x?3.???????9分

2又因为抛物线y?ax?5ax的顶点坐标是?,??5?2525?a?，对称轴为x?．

24?5??y??x?3,?x?,551??2解方程组?得? 即直线PQ与对称轴为x?的交点坐标为(,)， 52221x?.??y?.2??2?∴

12582??a?2．解得 ??a??．??????????????15分 242525

5

15.解：（1）证明：如图①， ∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四边形OABC是矩形． ∴AB//OC,AB?OC．

N

C

∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE//GC,AE?GC. ∴四边形AECG为平行四边形.∴CE//AG. ??????4分 连接OB，

∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点， ∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ， ∴四边形EPGQ是平行四边形．

（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形． 此时 ∠AED+∠CEB =90°． 又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．

G O

P F B E A M

Q D

图①

N C

F P G

Q O

D

M

E B ADAE?∴△AED∽△BCE． ∴． BEBCxyy22设OA=x，AB=y，则∶=∶x，得y?2x．?10分

222222又 OA?AB?OB，即x?y?1．

222∴x?2x?1，解得x?223．∴当OA的长为33A

图② 3时，四边形EPGQ是矩形．????12分

（3）如图③，连结GE交PQ于O?，则O?P?O?Q,O?G?O?E.．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B?、A?．

PGPEGE2???, PFPCFC12111∴ PA?=A?B?=AB， GA?=GE=OA，

333311∴ A?O??GE?GA??OA．

262在Rt△PA?O?中，PO??PA?2?A?O?2，

由△PCF∽△PEG得，

NCGB'FPA'O'QDAMEBPQ2AB2OA2O即 ， 又 AB2?OA2?1， ??4936114∴ 3PQ2?AB2?， ∴ OA2?3PQ2?OA2?(AB2?)?．???18分

333图③

6

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