高数教案(4)

课 题 日 期 教 学 目 的 重 点 难 点 课 堂 类 型 §2.1极限的概念 星 期 科长签字 1.理解无穷大、无穷小的概念， 2.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限 无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用 理论课 教学方法 讲授法 方法与 环节 教 学 内 容 与 过 程 一、无穷小量与无穷大量 1、无穷小量概念 定义： 极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小； 注：1、无穷小量不是很小的数,它也是极限的概念。 2、数零是唯一可作为无穷小的常数。 3、无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。 一个量无论多么小，都不能是无穷小，零唯一例外。 当x→a（或∞）时，如果函数f(x)的极限为0，则称当x→a（或∞）时，f(x)是无穷小量。 若数列{an}的极限为0，则{an}是无穷小量。 例如：limsinx?0，所以，当x→0时，sin x 是无穷小量。 x?0 同样，当x→0时x (?>0)，1-cosx，arcsinx 等都是无穷小量。 当x→+∞时，lim?11?0 ，所以{}是无穷小量. n???nn111同样，当x???时，，2，n都是无穷小量。nn2 定理： 极限与无穷小之间的关系： 1

若limf(x)?A,则f(x)?A??(x)。x?x0其中?(x)为无穷小量:lim?(x)?0，逆命题也成立。x?x0 二、无穷小量的性质 定理1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量。 例如，当x→0时，x+sinx也是无穷小量 定理 2 无穷小量与有界量之积是无穷小量。 例如，当x→0时，xsinx也是无穷小量。 推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。 例如，当x→0时，3sinx也是无穷小量。 推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小） 三、无穷大量 当x→x0（或±∞）时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当x→x0（或±∞）时，f(x)是无穷大量。记作lim f(x)=∞,或f(x)→∞。 x?x0定义 若limf(x)??（或limf(x)??）,则称f(x)为当x?x（或 0x?x0x??）时的无穷大量,简称无穷大。 如limx?o1=?，表示当 x时, 1为无穷大. x关于无穷大量几点说明: 1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念; 2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作 . 3.若数列{xn}当n→+∞时，它项的绝对值无限增大，则{xn}是无穷大量。 或 四、无穷小与无穷大的关系 定理：如果当x→x0（或±∞）时，函数f(x)是无穷大量，那么1就是当x→f(x)x0（或±∞）时的无穷小量，反过来，如果当x→x0（或±∞）时，函数f(x)是 2

非零无穷小量，那么1就是当x→x0（或±∞）时的无穷大量。 即⑴无穷大f(x)量的倒数是无穷小量。⑵无穷小量(非零)的倒数是无穷大量。(3)无穷大必无界，但反之不真。 因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0， 证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。 三、课堂练习 P20 习作题 1、2 P31 习题二 1、3 四、小结 理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限. 五、布置作业 P31 习题二 2、4、

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